Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58974 / 85407
↖ ↑ ↗
← S 47.811310°
W 18.023072°		 ← 205.12 m → S 47.811310°
W 18.020325°		 →
↑
205.08 m
↓
↑
205.08 m
↓
S 47.813154°
W 18.023072°		 ← 205.11 m →
42 065 m²		 S 47.813154°
W 18.020325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449939727783203 y=0.651607513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449939727783203 × 217)
    floor (0.449939727783203 × 131072)
    floor (58974.5)     		tx = 58974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651607513427734 × 217)
    floor (0.651607513427734 × 131072)
    floor (85407.5)     		ty = 85407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58974 / 85407 ti = "17/58974/85407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58974/85407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58974 ÷ 217
    58974 ÷ 131072     		x = 0.449935913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85407 ÷ 217
    85407 ÷ 131072     		y = 0.651603698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449935913085938 × 2 - 1) × π
    -0.100128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31456194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651603698730469 × 2 - 1) × π
    -0.303207397460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.952554132350136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31456194} λ = -0.31456194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952554132350136))-π/2
    2×atan(0.385754496092405)-π/2
    2×0.36816577366885-π/2
    0.736331547337699-1.57079632675     		φ = -0.83446478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31456194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.023072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83446478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.811310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58974 KachelY 85407 -0.31456194 -0.83446478 -18.023072 -47.811310
    Oben rechts KachelX + 1 58975 KachelY 85407 -0.31451400 -0.83446478 -18.020325 -47.811310
    Unten links KachelX 58974 KachelY + 1 85408 -0.31456194 -0.83449697 -18.023072 -47.813154
    Unten rechts KachelX + 1 58975 KachelY + 1 85408 -0.31451400 -0.83449697 -18.020325 -47.813154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83446478--0.83449697) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dl = 205.08248999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83446478--0.83449697) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dr = 205.08248999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31456194--0.31451400) × cos(-0.83446478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671574343226979 × 6371000     		do = 205.116090744979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31456194--0.31451400) × cos(-0.83449697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671550492111287 × 6371000     		du = 205.108806000319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83446478)-sin(-0.83449697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671574343226979-0.671550492111287)×R²
    abs(-0.31451400--0.31456194)×2.38511156921417e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38511156921417e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38511156921417e-05×40589641000000     		ar = 42064.9716457946m²