Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5897 / 6904
↖ ↑ ↗
← N 27.215556°
W 50.427246°		 ← 2 172.79 m → N 27.215556°
W 50.405273°		 →
↑
2 172.96 m
↓
↑
2 172.96 m
↓
N 27.196014°
W 50.427246°		 ← 2 173.17 m →
4 721 790 m²		 N 27.196014°
W 50.405273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359954833984375 y=0.421417236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359954833984375 × 214)
    floor (0.359954833984375 × 16384)
    floor (5897.5)     		tx = 5897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421417236328125 × 214)
    floor (0.421417236328125 × 16384)
    floor (6904.5)     		ty = 6904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5897 / 6904 ti = "14/5897/6904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5897/6904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5897 ÷ 214
    5897 ÷ 16384     		x = 0.35992431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6904 ÷ 214
    6904 ÷ 16384     		y = 0.42138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35992431640625 × 2 - 1) × π
    -0.2801513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88012148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42138671875 × 2 - 1) × π
    0.1572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.493941813685059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88012148} λ = -0.88012148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493941813685059))-π/2
    2×atan(1.63876320442764)-π/2
    2×1.02289869519575-π/2
    2.0457973903915-1.57079632675     		φ = 0.47500106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88012148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.427246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47500106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.215556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5897 KachelY 6904 -0.88012148 0.47500106 -50.427246 27.215556
    Oben rechts KachelX + 1 5898 KachelY 6904 -0.87973798 0.47500106 -50.405273 27.215556
    Unten links KachelX 5897 KachelY + 1 6905 -0.88012148 0.47465999 -50.427246 27.196014
    Unten rechts KachelX + 1 5898 KachelY + 1 6905 -0.87973798 0.47465999 -50.405273 27.196014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47500106-0.47465999) × R
    0.000341069999999999 × 6371000     		dl = 2172.95696999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47500106-0.47465999) × R
    0.000341069999999999 × 6371000     		dr = 2172.95696999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88012148--0.87973798) × cos(0.47500106) × R
    0.000383499999999981 × 0.889292236843915 × 6371000     		do = 2172.78860249754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88012148--0.87973798) × cos(0.47465999) × R
    0.000383499999999981 × 0.889448169861455 × 6371000     		du = 2173.16959028673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47500106)-sin(0.47465999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889292236843915-0.889448169861455)×R²
    abs(-0.87973798--0.88012148)×0.000155933017540355×R²
    0.000383499999999981×0.000155933017540355×6371000²
    0.000383499999999981×0.000155933017540355×40589641000000     		ar = 4721790.11894261m²