Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58968 / 30069
↖ ↑ ↗
← N 69.297940°
W 18.039551°		 ← 107.97 m → N 69.297940°
W 18.036804°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
N 69.296969°
W 18.039551°		 ← 107.98 m →
11 660 m²		 N 69.296969°
W 18.036804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449893951416016 y=0.229412078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449893951416016 × 217)
    floor (0.449893951416016 × 131072)
    floor (58968.5)     		tx = 58968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229412078857422 × 217)
    floor (0.229412078857422 × 131072)
    floor (30069.5)     		ty = 30069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58968 / 30069 ti = "17/58968/30069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58968/30069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58968 ÷ 217
    58968 ÷ 131072     		x = 0.44989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30069 ÷ 217
    30069 ÷ 131072     		y = 0.229408264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.1002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31484956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229408264160156 × 2 - 1) × π
    0.541183471679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.70017801882453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31484956} λ = -0.31484956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70017801882453))-π/2
    2×atan(5.47492194414919)-π/2
    2×1.39013677167209-π/2
    2.78027354334418-1.57079632675     		φ = 1.20947722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31484956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.039551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20947722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.297940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58968 KachelY 30069 -0.31484956 1.20947722 -18.039551 69.297940
    Oben rechts KachelX + 1 58969 KachelY 30069 -0.31480162 1.20947722 -18.036804 69.297940
    Unten links KachelX 58968 KachelY + 1 30070 -0.31484956 1.20946027 -18.039551 69.296969
    Unten rechts KachelX + 1 58969 KachelY + 1 30070 -0.31480162 1.20946027 -18.036804 69.296969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20947722-1.20946027) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20947722-1.20946027) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31484956--0.31480162) × cos(1.20947722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353508474290432 × 6371000     		do = 107.970587356355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31484956--0.31480162) × cos(1.20946027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353524329800561 × 6371000     		du = 107.97543003727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20947722)-sin(1.20946027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353508474290432-0.353524329800561)×R²
    abs(-0.31480162--0.31484956)×1.58555101290592e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58555101290592e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58555101290592e-05×40589641000000     		ar = 11659.8378512046m²