Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58966 / 30070
↖ ↑ ↗
← N 69.296969°
W 18.045044°		 ← 107.98 m → N 69.296969°
W 18.042297°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
N 69.295998°
W 18.045044°		 ← 107.98 m →
11 660 m²		 N 69.295998°
W 18.042297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449878692626953 y=0.229419708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449878692626953 × 217)
    floor (0.449878692626953 × 131072)
    floor (58966.5)     		tx = 58966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229419708251953 × 217)
    floor (0.229419708251953 × 131072)
    floor (30070.5)     		ty = 30070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58966 / 30070 ti = "17/58966/30070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58966/30070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58966 ÷ 217
    58966 ÷ 131072     		x = 0.449874877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30070 ÷ 217
    30070 ÷ 131072     		y = 0.229415893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449874877929688 × 2 - 1) × π
    -0.100250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31494543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229415893554688 × 2 - 1) × π
    0.541168212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70013008192491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31494543} λ = -0.31494543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70013008192491))-π/2
    2×atan(5.47465949965596)-π/2
    2×1.39012829843191-π/2
    2.78025659686383-1.57079632675     		φ = 1.20946027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31494543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.045044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20946027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.296969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58966 KachelY 30070 -0.31494543 1.20946027 -18.045044 69.296969
    Oben rechts KachelX + 1 58967 KachelY 30070 -0.31489749 1.20946027 -18.042297 69.296969
    Unten links KachelX 58966 KachelY + 1 30071 -0.31494543 1.20944332 -18.045044 69.295998
    Unten rechts KachelX + 1 58967 KachelY + 1 30071 -0.31489749 1.20944332 -18.042297 69.295998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20946027-1.20944332) × R
    1.69499999997935e-05 × 6371000     		dl = 107.988449998685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20946027-1.20944332) × R
    1.69499999997935e-05 × 6371000     		dr = 107.988449998685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31494543--0.31489749) × cos(1.20946027) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.353524329800561 × 6371000     		do = 107.975430037395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31494543--0.31489749) × cos(1.20944332) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.353540185209122 × 6371000     		du = 107.980272687287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20946027)-sin(1.20944332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353524329800561-0.353540185209122)×R²
    abs(-0.31489749--0.31494543)×1.58554085604723e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58554085604723e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58554085604723e-05×40589641000000     		ar = 11660.3608031223m²