Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58965 / 46191
↖ ↑ ↗
← N 46.832013°
W 18.047791°		 ← 208.95 m → N 46.832013°
W 18.045044°		 →
↑
208.97 m
↓
↑
208.97 m
↓
N 46.830134°
W 18.047791°		 ← 208.96 m →
43 666 m²		 N 46.830134°
W 18.045044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449871063232422 y=0.352413177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449871063232422 × 217)
    floor (0.449871063232422 × 131072)
    floor (58965.5)     		tx = 58965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352413177490234 × 217)
    floor (0.352413177490234 × 131072)
    floor (46191.5)     		ty = 46191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58965 / 46191 ti = "17/58965/46191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58965/46191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58965 ÷ 217
    58965 ÷ 131072     		x = 0.449867248535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46191 ÷ 217
    46191 ÷ 131072     		y = 0.352409362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449867248535156 × 2 - 1) × π
    -0.100265502929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31499337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352409362792969 × 2 - 1) × π
    0.295181274414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.927339323149986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31499337} λ = -0.31499337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.927339323149986))-π/2
    2×atan(2.527774630922)-π/2
    2×1.19408457203059-π/2
    2.38816914406118-1.57079632675     		φ = 0.81737282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31499337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.047791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81737282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.832013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58965 KachelY 46191 -0.31499337 0.81737282 -18.047791 46.832013
    Oben rechts KachelX + 1 58966 KachelY 46191 -0.31494543 0.81737282 -18.045044 46.832013
    Unten links KachelX 58965 KachelY + 1 46192 -0.31499337 0.81734002 -18.047791 46.830134
    Unten rechts KachelX + 1 58966 KachelY + 1 46192 -0.31494543 0.81734002 -18.045044 46.830134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81737282-0.81734002) × R
    3.2800000000055e-05 × 6371000     		dl = 208.96880000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81737282-0.81734002) × R
    3.2800000000055e-05 × 6371000     		dr = 208.96880000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31499337--0.31494543) × cos(0.81737282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.684139702409381 × 6371000     		do = 208.953874871628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31499337--0.31494543) × cos(0.81734002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.684163624753859 × 6371000     		du = 208.961181371393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81737282)-sin(0.81734002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684139702409381-0.684163624753859)×R²
    abs(-0.31494543--0.31499337)×2.39223444772341e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39223444772341e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39223444772341e-05×40589641000000     		ar = 43665.6039065314m²