Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58964 / 45284
↖ ↑ ↗
← N 48.509326°
W 18.050537°		 ← 202.30 m → N 48.509326°
W 18.047791°		 →
↑
202.28 m
↓
↑
202.28 m
↓
N 48.507507°
W 18.050537°		 ← 202.31 m →
40 922 m²		 N 48.507507°
W 18.047791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449863433837891 y=0.345493316650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449863433837891 × 217)
    floor (0.449863433837891 × 131072)
    floor (58964.5)     		tx = 58964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345493316650391 × 217)
    floor (0.345493316650391 × 131072)
    floor (45284.5)     		ty = 45284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58964 / 45284 ti = "17/58964/45284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58964/45284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58964 ÷ 217
    58964 ÷ 131072     		x = 0.449859619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45284 ÷ 217
    45284 ÷ 131072     		y = 0.345489501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449859619140625 × 2 - 1) × π
    -0.10028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31504130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345489501953125 × 2 - 1) × π
    0.30902099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.970818091105377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31504130} λ = -0.31504130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970818091105377))-π/2
    2×atan(2.64010342124618)-π/2
    2×1.20872189562485-π/2
    2.41744379124971-1.57079632675     		φ = 0.84664746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31504130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.050537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84664746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.509326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58964 KachelY 45284 -0.31504130 0.84664746 -18.050537 48.509326
    Oben rechts KachelX + 1 58965 KachelY 45284 -0.31499337 0.84664746 -18.047791 48.509326
    Unten links KachelX 58964 KachelY + 1 45285 -0.31504130 0.84661571 -18.050537 48.507507
    Unten rechts KachelX + 1 58965 KachelY + 1 45285 -0.31499337 0.84661571 -18.047791 48.507507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84664746-0.84661571) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dl = 202.279249999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84664746-0.84661571) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dr = 202.279249999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31504130--0.31499337) × cos(0.84664746) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662498129831394 × 6371000     		do = 202.301773796642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31504130--0.31499337) × cos(0.84661571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662521912265735 × 6371000     		du = 202.30903604907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84664746)-sin(0.84661571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662498129831394-0.662521912265735)×R²
    abs(-0.31499337--0.31504130)×2.37824343404247e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37824343404247e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37824343404247e-05×40589641000000     		ar = 40922.1855821663m²