Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58961 / 46185
↖ ↑ ↗
← N 46.843286°
W 18.058777°		 ← 208.91 m → N 46.843286°
W 18.056030°		 →
↑
208.91 m
↓
↑
208.91 m
↓
N 46.841407°
W 18.058777°		 ← 208.92 m →
43 643 m²		 N 46.841407°
W 18.056030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449840545654297 y=0.352367401123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449840545654297 × 217)
    floor (0.449840545654297 × 131072)
    floor (58961.5)     		tx = 58961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352367401123047 × 217)
    floor (0.352367401123047 × 131072)
    floor (46185.5)     		ty = 46185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58961 / 46185 ti = "17/58961/46185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58961/46185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58961 ÷ 217
    58961 ÷ 131072     		x = 0.449836730957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46185 ÷ 217
    46185 ÷ 131072     		y = 0.352363586425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449836730957031 × 2 - 1) × π
    -0.100326538085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31518512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352363586425781 × 2 - 1) × π
    0.295272827148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.927626944547707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31518512} λ = -0.31518512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.927626944547707))-π/2
    2×atan(2.52850177756092)-π/2
    2×1.19418294832006-π/2
    2.38836589664013-1.57079632675     		φ = 0.81756957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31518512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.058777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81756957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.843286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58961 KachelY 46185 -0.31518512 0.81756957 -18.058777 46.843286
    Oben rechts KachelX + 1 58962 KachelY 46185 -0.31513718 0.81756957 -18.056030 46.843286
    Unten links KachelX 58961 KachelY + 1 46186 -0.31518512 0.81753678 -18.058777 46.841407
    Unten rechts KachelX + 1 58962 KachelY + 1 46186 -0.31513718 0.81753678 -18.056030 46.841407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81756957-0.81753678) × R
    3.27900000000048e-05 × 6371000     		dl = 208.90509000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81756957-0.81753678) × R
    3.27900000000048e-05 × 6371000     		dr = 208.90509000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31518512--0.31513718) × cos(0.81756957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683996189361177 × 6371000     		do = 208.910042292681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31518512--0.31513718) × cos(0.81753678) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.684020108825664 × 6371000     		du = 208.917347912822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81756957)-sin(0.81753678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683996189361177-0.684020108825664)×R²
    abs(-0.31513718--0.31518512)×2.39194644869878e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39194644869878e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39194644869878e-05×40589641000000     		ar = 43643.1342816206m²