Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5896 / 6919
↖ ↑ ↗
← N 26.922070°
W 50.449219°		 ← 2 178.43 m → N 26.922070°
W 50.427246°		 →
↑
2 178.63 m
↓
↑
2 178.63 m
↓
N 26.902477°
W 50.449219°		 ← 2 178.81 m →
4 746 392 m²		 N 26.902477°
W 50.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359893798828125 y=0.422332763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359893798828125 × 214)
    floor (0.359893798828125 × 16384)
    floor (5896.5)     		tx = 5896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422332763671875 × 214)
    floor (0.422332763671875 × 16384)
    floor (6919.5)     		ty = 6919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5896 / 6919 ti = "14/5896/6919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5896/6919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5896 ÷ 214
    5896 ÷ 16384     		x = 0.35986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6919 ÷ 214
    6919 ÷ 16384     		y = 0.42230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88050497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42230224609375 × 2 - 1) × π
    0.1553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.488189385730652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88050497} λ = -0.88050497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488189385730652))-π/2
    2×atan(1.62936339893207)-π/2
    2×1.02033754414078-π/2
    2.04067508828156-1.57079632675     		φ = 0.46987876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88050497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46987876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.922070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5896 KachelY 6919 -0.88050497 0.46987876 -50.449219 26.922070
    Oben rechts KachelX + 1 5897 KachelY 6919 -0.88012148 0.46987876 -50.427246 26.922070
    Unten links KachelX 5896 KachelY + 1 6920 -0.88050497 0.46953680 -50.449219 26.902477
    Unten rechts KachelX + 1 5897 KachelY + 1 6920 -0.88012148 0.46953680 -50.427246 26.902477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46987876-0.46953680) × R
    0.00034196000000003 × 6371000     		dl = 2178.62716000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46987876-0.46953680) × R
    0.00034196000000003 × 6371000     		dr = 2178.62716000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88050497--0.88012148) × cos(0.46987876) × R
    0.000383490000000042 × 0.891623189575791 × 6371000     		do = 2178.42696387879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88050497--0.88012148) × cos(0.46953680) × R
    0.000383490000000042 × 0.891777969470339 × 6371000     		du = 2178.80512440634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46987876)-sin(0.46953680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891623189575791-0.891777969470339)×R²
    abs(-0.88012148--0.88050497)×0.000154779894547263×R²
    0.000383490000000042×0.000154779894547263×6371000²
    0.000383490000000042×0.000154779894547263×40589641000000     		ar = 4746392.13123392m²