Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5896 / 6905
↖ ↑ ↗
← N 27.196014°
W 50.449219°		 ← 2 173.11 m → N 27.196014°
W 50.427246°		 →
↑
2 173.28 m
↓
↑
2 173.28 m
↓
N 27.176469°
W 50.449219°		 ← 2 173.49 m →
4 723 187 m²		 N 27.176469°
W 50.427246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359893798828125 y=0.421478271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359893798828125 × 214)
    floor (0.359893798828125 × 16384)
    floor (5896.5)     		tx = 5896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421478271484375 × 214)
    floor (0.421478271484375 × 16384)
    floor (6905.5)     		ty = 6905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5896 / 6905 ti = "14/5896/6905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5896/6905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5896 ÷ 214
    5896 ÷ 16384     		x = 0.35986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6905 ÷ 214
    6905 ÷ 16384     		y = 0.42144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88050497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42144775390625 × 2 - 1) × π
    0.1571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.493558318488098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88050497} λ = -0.88050497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493558318488098))-π/2
    2×atan(1.63813486709966)-π/2
    2×1.02272816059423-π/2
    2.04545632118846-1.57079632675     		φ = 0.47465999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88050497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47465999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.196014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5896 KachelY 6905 -0.88050497 0.47465999 -50.449219 27.196014
    Oben rechts KachelX + 1 5897 KachelY 6905 -0.88012148 0.47465999 -50.427246 27.196014
    Unten links KachelX 5896 KachelY + 1 6906 -0.88050497 0.47431887 -50.449219 27.176469
    Unten rechts KachelX + 1 5897 KachelY + 1 6906 -0.88012148 0.47431887 -50.427246 27.176469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47465999-0.47431887) × R
    0.000341119999999973 × 6371000     		dl = 2173.27551999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47465999-0.47431887) × R
    0.000341119999999973 × 6371000     		dr = 2173.27551999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88050497--0.88012148) × cos(0.47465999) × R
    0.000383490000000042 × 0.889448169861455 × 6371000     		do = 2173.11292354418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88050497--0.88012148) × cos(0.47431887) × R
    0.000383490000000042 × 0.889604022247239 × 6371000     		du = 2173.49370439818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47465999)-sin(0.47431887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889448169861455-0.889604022247239)×R²
    abs(-0.88012148--0.88050497)×0.000155852385784083×R²
    0.000383490000000042×0.000155852385784083×6371000²
    0.000383490000000042×0.000155852385784083×40589641000000     		ar = 4723186.93558794m²