Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58942 / 30074
↖ ↑ ↗
← N 69.293085°
W 18.110962°		 ← 107.99 m → N 69.293085°
W 18.108215°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
N 69.292114°
W 18.110962°		 ← 108 m →
11 662 m²		 N 69.292114°
W 18.108215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449695587158203 y=0.229450225830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449695587158203 × 217)
    floor (0.449695587158203 × 131072)
    floor (58942.5)     		tx = 58942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229450225830078 × 217)
    floor (0.229450225830078 × 131072)
    floor (30074.5)     		ty = 30074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58942 / 30074 ti = "17/58942/30074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58942/30074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58942 ÷ 217
    58942 ÷ 131072     		x = 0.449691772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30074 ÷ 217
    30074 ÷ 131072     		y = 0.229446411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449691772460938 × 2 - 1) × π
    -0.100616455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31609592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229446411132812 × 2 - 1) × π
    0.541107177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69993833432643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31609592} λ = -0.31609592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69993833432643))-π/2
    2×atan(5.47360984748176)-π/2
    2×1.39009440167146-π/2
    2.78018880334292-1.57079632675     		φ = 1.20939248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31609592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.110962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20939248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.293085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58942 KachelY 30074 -0.31609592 1.20939248 -18.110962 69.293085
    Oben rechts KachelX + 1 58943 KachelY 30074 -0.31604798 1.20939248 -18.108215 69.293085
    Unten links KachelX 58942 KachelY + 1 30075 -0.31609592 1.20937553 -18.110962 69.292114
    Unten rechts KachelX + 1 58943 KachelY + 1 30075 -0.31604798 1.20937553 -18.108215 69.292114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20939248-1.20937553) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20939248-1.20937553) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31609592--0.31604798) × cos(1.20939248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353587741471334 × 6371000     		do = 107.99479759374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31609592--0.31604798) × cos(1.20937553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353603596473635 × 6371000     		du = 107.999640119551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20939248)-sin(1.20937553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353587741471334-0.353603596473635)×R²
    abs(-0.31604798--0.31609592)×1.58550023013349e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58550023013349e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58550023013349e-05×40589641000000     		ar = 11662.4522689588m²