Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58940 / 45264
↖ ↑ ↗
← N 48.545706°
W 18.116455°		 ← 202.20 m → N 48.545706°
W 18.113708°		 →
↑
202.22 m
↓
↑
202.22 m
↓
N 48.543887°
W 18.116455°		 ← 202.21 m →
40 888 m²		 N 48.543887°
W 18.113708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449680328369141 y=0.345340728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449680328369141 × 217)
    floor (0.449680328369141 × 131072)
    floor (58940.5)     		tx = 58940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345340728759766 × 217)
    floor (0.345340728759766 × 131072)
    floor (45264.5)     		ty = 45264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58940 / 45264 ti = "17/58940/45264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58940/45264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58940 ÷ 217
    58940 ÷ 131072     		x = 0.449676513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45264 ÷ 217
    45264 ÷ 131072     		y = 0.3453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449676513671875 × 2 - 1) × π
    -0.10064697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31619179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3453369140625 × 2 - 1) × π
    0.309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.971776829097778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31619179} λ = -0.31619179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971776829097778))-π/2
    2×atan(2.64263580245106)-π/2
    2×1.20903936265637-π/2
    2.41807872531274-1.57079632675     		φ = 0.84728240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31619179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.116455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84728240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.545706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58940 KachelY 45264 -0.31619179 0.84728240 -18.116455 48.545706
    Oben rechts KachelX + 1 58941 KachelY 45264 -0.31614385 0.84728240 -18.113708 48.545706
    Unten links KachelX 58940 KachelY + 1 45265 -0.31619179 0.84725066 -18.116455 48.543887
    Unten rechts KachelX + 1 58941 KachelY + 1 45265 -0.31614385 0.84725066 -18.113708 48.543887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84728240-0.84725066) × R
    3.17399999999468e-05 × 6371000     		dl = 202.215539999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84728240-0.84725066) × R
    3.17399999999468e-05 × 6371000     		dr = 202.215539999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31619179--0.31614385) × cos(0.84728240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662022385899222 × 6371000     		do = 202.198677109703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31619179--0.31614385) × cos(0.84725066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662046174189905 × 6371000     		du = 202.205942665988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84728240)-sin(0.84725066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662022385899222-0.662046174189905)×R²
    abs(-0.31614385--0.31619179)×2.37882906831688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37882906831688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37882906831688e-05×40589641000000     		ar = 40888.4492865933m²