Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58938 / 45356
↖ ↑ ↗
← N 48.378145°
W 18.121948°		 ← 202.82 m → N 48.378145°
W 18.119202°		 →
↑
202.85 m
↓
↑
202.85 m
↓
N 48.376321°
W 18.121948°		 ← 202.83 m →
41 144 m²		 N 48.376321°
W 18.119202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449665069580078 y=0.346042633056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449665069580078 × 217)
    floor (0.449665069580078 × 131072)
    floor (58938.5)     		tx = 58938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346042633056641 × 217)
    floor (0.346042633056641 × 131072)
    floor (45356.5)     		ty = 45356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58938 / 45356 ti = "17/58938/45356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58938/45356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58938 ÷ 217
    58938 ÷ 131072     		x = 0.449661254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45356 ÷ 217
    45356 ÷ 131072     		y = 0.346038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449661254882812 × 2 - 1) × π
    -0.100677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31628766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346038818359375 × 2 - 1) × π
    0.30792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.967366634332733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31628766} λ = -0.31628766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967366634332733))-π/2
    2×atan(2.63100692552353)-π/2
    2×1.20757712561633-π/2
    2.41515425123267-1.57079632675     		φ = 0.84435792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31628766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.121948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84435792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.378145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58938 KachelY 45356 -0.31628766 0.84435792 -18.121948 48.378145
    Oben rechts KachelX + 1 58939 KachelY 45356 -0.31623973 0.84435792 -18.119202 48.378145
    Unten links KachelX 58938 KachelY + 1 45357 -0.31628766 0.84432608 -18.121948 48.376321
    Unten rechts KachelX + 1 58939 KachelY + 1 45357 -0.31623973 0.84432608 -18.119202 48.376321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84435792-0.84432608) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dl = 202.852640000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84435792-0.84432608) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dr = 202.852640000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31628766--0.31623973) × cos(0.84435792) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664211402928441 × 6371000     		do = 202.824942347501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31628766--0.31623973) × cos(0.84432608) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664235204417849 × 6371000     		du = 202.832210418623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84435792)-sin(0.84432608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664211402928441-0.664235204417849)×R²
    abs(-0.31623973--0.31628766)×2.38014894078376e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38014894078376e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38014894078376e-05×40589641000000     		ar = 41144.3121901777m²