Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58938 / 45099
↖ ↑ ↗
← N 48.844836°
W 18.121948°		 ← 200.96 m → N 48.844836°
W 18.119202°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
N 48.843028°
W 18.121948°		 ← 200.97 m →
40 394 m²		 N 48.843028°
W 18.119202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449665069580078 y=0.344081878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449665069580078 × 217)
    floor (0.449665069580078 × 131072)
    floor (58938.5)     		tx = 58938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344081878662109 × 217)
    floor (0.344081878662109 × 131072)
    floor (45099.5)     		ty = 45099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58938 / 45099 ti = "17/58938/45099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58938/45099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58938 ÷ 217
    58938 ÷ 131072     		x = 0.449661254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45099 ÷ 217
    45099 ÷ 131072     		y = 0.344078063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449661254882812 × 2 - 1) × π
    -0.100677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31628766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344078063964844 × 2 - 1) × π
    0.311843872070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.979686417535088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31628766} λ = -0.31628766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979686417535088))-π/2
    2×atan(2.663620846163)-π/2
    2×1.21164976802329-π/2
    2.42329953604658-1.57079632675     		φ = 0.85250321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31628766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.121948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85250321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.844836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58938 KachelY 45099 -0.31628766 0.85250321 -18.121948 48.844836
    Oben rechts KachelX + 1 58939 KachelY 45099 -0.31623973 0.85250321 -18.119202 48.844836
    Unten links KachelX 58938 KachelY + 1 45100 -0.31628766 0.85247166 -18.121948 48.843028
    Unten rechts KachelX + 1 58939 KachelY + 1 45100 -0.31623973 0.85247166 -18.119202 48.843028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85250321-0.85247166) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dl = 201.005049999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85250321-0.85247166) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dr = 201.005049999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31628766--0.31623973) × cos(0.85250321) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.658100467480019 × 6371000     		do = 200.958894693771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31628766--0.31623973) × cos(0.85247166) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.658124222097955 × 6371000     		du = 200.966148452125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85250321)-sin(0.85247166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658100467480019-0.658124222097955)×R²
    abs(-0.31623973--0.31628766)×2.37546179353565e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37546179353565e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37546179353565e-05×40589641000000     		ar = 40394.4817001512m²