Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58937 / 40523
↖ ↑ ↗
← N 56.445795°
W 18.124695°		 ← 168.82 m → N 56.445795°
W 18.121948°		 →
↑
168.83 m
↓
↑
168.83 m
↓
N 56.444277°
W 18.124695°		 ← 168.82 m →
28 502 m²		 N 56.444277°
W 18.121948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449657440185547 y=0.309169769287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449657440185547 × 217)
    floor (0.449657440185547 × 131072)
    floor (58937.5)     		tx = 58937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309169769287109 × 217)
    floor (0.309169769287109 × 131072)
    floor (40523.5)     		ty = 40523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58937 / 40523 ti = "17/58937/40523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58937/40523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58937 ÷ 217
    58937 ÷ 131072     		x = 0.449653625488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40523 ÷ 217
    40523 ÷ 131072     		y = 0.309165954589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449653625488281 × 2 - 1) × π
    -0.100692749023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.31633560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309165954589844 × 2 - 1) × π
    0.381668090820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.19904567019646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31633560} λ = -0.31633560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19904567019646))-π/2
    2×atan(3.31694994761569)-π/2
    2×1.27798064906977-π/2
    2.55596129813954-1.57079632675     		φ = 0.98516497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31633560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.124695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98516497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.445795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58937 KachelY 40523 -0.31633560 0.98516497 -18.124695 56.445795
    Oben rechts KachelX + 1 58938 KachelY 40523 -0.31628766 0.98516497 -18.121948 56.445795
    Unten links KachelX 58937 KachelY + 1 40524 -0.31633560 0.98513847 -18.124695 56.444277
    Unten rechts KachelX + 1 58938 KachelY + 1 40524 -0.31628766 0.98513847 -18.121948 56.444277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98516497-0.98513847) × R
    2.65000000000404e-05 × 6371000     		dl = 168.831500000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98516497-0.98513847) × R
    2.65000000000404e-05 × 6371000     		dr = 168.831500000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31633560--0.31628766) × cos(0.98516497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.552725642029189 × 6371000     		do = 168.816638233629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31633560--0.31628766) × cos(0.98513847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.552747725962161 × 6371000     		du = 168.823383235199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98516497)-sin(0.98513847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552725642029189-0.552747725962161)×R²
    abs(-0.31628766--0.31633560)×2.20839329718725e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20839329718725e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20839329718725e-05×40589641000000     		ar = 28502.1356440189m²