Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58936 / 45941
↖ ↑ ↗
← N 47.299722°
W 18.127442°		 ← 207.13 m → N 47.299722°
W 18.124695°		 →
↑
207.12 m
↓
↑
207.12 m
↓
N 47.297859°
W 18.127442°		 ← 207.14 m →
42 901 m²		 N 47.297859°
W 18.124695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449649810791016 y=0.350505828857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449649810791016 × 217)
    floor (0.449649810791016 × 131072)
    floor (58936.5)     		tx = 58936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350505828857422 × 217)
    floor (0.350505828857422 × 131072)
    floor (45941.5)     		ty = 45941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58936 / 45941 ti = "17/58936/45941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58936/45941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58936 ÷ 217
    58936 ÷ 131072     		x = 0.44964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45941 ÷ 217
    45941 ÷ 131072     		y = 0.350502014160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.1007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31638354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350502014160156 × 2 - 1) × π
    0.298995971679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.939323548055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31638354} λ = -0.31638354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.939323548055))-π/2
    2×atan(2.55825029949504)-π/2
    2×1.1981661047197-π/2
    2.39633220943939-1.57079632675     		φ = 0.82553588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31638354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.127442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82553588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.299722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58936 KachelY 45941 -0.31638354 0.82553588 -18.127442 47.299722
    Oben rechts KachelX + 1 58937 KachelY 45941 -0.31633560 0.82553588 -18.124695 47.299722
    Unten links KachelX 58936 KachelY + 1 45942 -0.31638354 0.82550337 -18.127442 47.297859
    Unten rechts KachelX + 1 58937 KachelY + 1 45942 -0.31633560 0.82550337 -18.124695 47.297859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82553588-0.82550337) × R
    3.25100000000411e-05 × 6371000     		dl = 207.121210000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82553588-0.82550337) × R
    3.25100000000411e-05 × 6371000     		dr = 207.121210000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31638354--0.31633560) × cos(0.82553588) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67816323874742 × 6371000     		do = 207.128509035332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31638354--0.31633560) × cos(0.82550337) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678187130355465 × 6371000     		du = 207.135806147398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82553588)-sin(0.82550337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67816323874742-0.678187130355465)×R²
    abs(-0.31633560--0.31638354)×2.38916080440577e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38916080440577e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38916080440577e-05×40589641000000     		ar = 42901.4631142037m²