Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58935 / 40549
↖ ↑ ↗
← N 56.406304°
W 18.130188°		 ← 168.96 m → N 56.406304°
W 18.127442°		 →
↑
169.02 m
↓
↑
169.02 m
↓
N 56.404784°
W 18.130188°		 ← 168.96 m →
28 558 m²		 N 56.404784°
W 18.127442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449642181396484 y=0.309368133544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449642181396484 × 217)
    floor (0.449642181396484 × 131072)
    floor (58935.5)     		tx = 58935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309368133544922 × 217)
    floor (0.309368133544922 × 131072)
    floor (40549.5)     		ty = 40549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58935 / 40549 ti = "17/58935/40549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58935/40549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58935 ÷ 217
    58935 ÷ 131072     		x = 0.449638366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40549 ÷ 217
    40549 ÷ 131072     		y = 0.309364318847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449638366699219 × 2 - 1) × π
    -0.100723266601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.31643147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309364318847656 × 2 - 1) × π
    0.381271362304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.19779931080634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31643147} λ = -0.31643147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19779931080634))-π/2
    2×atan(3.3128184111264)-π/2
    2×1.27763602275513-π/2
    2.55527204551026-1.57079632675     		φ = 0.98447572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31643147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.130188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98447572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.406304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58935 KachelY 40549 -0.31643147 0.98447572 -18.130188 56.406304
    Oben rechts KachelX + 1 58936 KachelY 40549 -0.31638354 0.98447572 -18.127442 56.406304
    Unten links KachelX 58935 KachelY + 1 40550 -0.31643147 0.98444919 -18.130188 56.404784
    Unten rechts KachelX + 1 58936 KachelY + 1 40550 -0.31638354 0.98444919 -18.127442 56.404784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98447572-0.98444919) × R
    2.65300000000801e-05 × 6371000     		dl = 169.02263000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98447572-0.98444919) × R
    2.65300000000801e-05 × 6371000     		dr = 169.02263000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31643147--0.31638354) × cos(0.98447572) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.553299906337383 × 6371000     		do = 168.956782597901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31643147--0.31638354) × cos(0.98444919) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.553322005158329 × 6371000     		du = 168.963530738726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98447572)-sin(0.98444919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553299906337383-0.553322005158329)×R²
    abs(-0.31638354--0.31643147)×2.20988209459483e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20988209459483e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20988209459483e-05×40589641000000     		ar = 28558.0900471201m²