Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58934 / 45094
↖ ↑ ↗
← N 48.853873°
W 18.132934°		 ← 200.96 m → N 48.853873°
W 18.130188°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
N 48.852066°
W 18.132934°		 ← 200.97 m →
40 383 m²		 N 48.852066°
W 18.130188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449634552001953 y=0.344043731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449634552001953 × 217)
    floor (0.449634552001953 × 131072)
    floor (58934.5)     		tx = 58934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344043731689453 × 217)
    floor (0.344043731689453 × 131072)
    floor (45094.5)     		ty = 45094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58934 / 45094 ti = "17/58934/45094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58934/45094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58934 ÷ 217
    58934 ÷ 131072     		x = 0.449630737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45094 ÷ 217
    45094 ÷ 131072     		y = 0.344039916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449630737304688 × 2 - 1) × π
    -0.100738525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31647941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344039916992188 × 2 - 1) × π
    0.311920166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.979926102033188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31647941} λ = -0.31647941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979926102033188))-π/2
    2×atan(2.66425935130548)-π/2
    2×1.21172862914708-π/2
    2.42345725829415-1.57079632675     		φ = 0.85266093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31647941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.132934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85266093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.853873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58934 KachelY 45094 -0.31647941 0.85266093 -18.132934 48.853873
    Oben rechts KachelX + 1 58935 KachelY 45094 -0.31643147 0.85266093 -18.130188 48.853873
    Unten links KachelX 58934 KachelY + 1 45095 -0.31647941 0.85262939 -18.132934 48.852066
    Unten rechts KachelX + 1 58935 KachelY + 1 45095 -0.31643147 0.85262939 -18.130188 48.852066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85266093-0.85262939) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dl = 200.941339999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85266093-0.85262939) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dr = 200.941339999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31647941--0.31643147) × cos(0.85266093) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.657981707155711 × 6371000     		do = 200.964549814597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31647941--0.31643147) × cos(0.85262939) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.65800545751803 × 6371000     		du = 200.971803786584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85266093)-sin(0.85262939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657981707155711-0.65800545751803)×R²
    abs(-0.31643147--0.31647941)×2.37503623187196e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37503623187196e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37503623187196e-05×40589641000000     		ar = 40382.8147470546m²