Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58934 / 40555
↖ ↑ ↗
← N 56.397185°
W 18.132934°		 ← 169.03 m → N 56.397185°
W 18.130188°		 →
↑
169.02 m
↓
↑
169.02 m
↓
N 56.395665°
W 18.132934°		 ← 169.04 m →
28 571 m²		 N 56.395665°
W 18.130188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449634552001953 y=0.309413909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449634552001953 × 217)
    floor (0.449634552001953 × 131072)
    floor (58934.5)     		tx = 58934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309413909912109 × 217)
    floor (0.309413909912109 × 131072)
    floor (40555.5)     		ty = 40555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58934 / 40555 ti = "17/58934/40555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58934/40555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58934 ÷ 217
    58934 ÷ 131072     		x = 0.449630737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40555 ÷ 217
    40555 ÷ 131072     		y = 0.309410095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449630737304688 × 2 - 1) × π
    -0.100738525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31647941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309410095214844 × 2 - 1) × π
    0.381179809570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.19751168940862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31647941} λ = -0.31647941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19751168940862))-π/2
    2×atan(3.31186571067968)-π/2
    2×1.27755644277646-π/2
    2.55511288555292-1.57079632675     		φ = 0.98431656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31647941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.132934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98431656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.397185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58934 KachelY 40555 -0.31647941 0.98431656 -18.132934 56.397185
    Oben rechts KachelX + 1 58935 KachelY 40555 -0.31643147 0.98431656 -18.130188 56.397185
    Unten links KachelX 58934 KachelY + 1 40556 -0.31647941 0.98429003 -18.132934 56.395665
    Unten rechts KachelX + 1 58935 KachelY + 1 40556 -0.31643147 0.98429003 -18.130188 56.395665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98431656-0.98429003) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dl = 169.022629999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98431656-0.98429003) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dr = 169.022629999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31647941--0.31643147) × cos(0.98431656) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553432476763106 × 6371000     		do = 169.032523755489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31647941--0.31643147) × cos(0.98429003) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553454573247409 × 6371000     		du = 169.039272590559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98431656)-sin(0.98429003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553432476763106-0.553454573247409)×R²
    abs(-0.31643147--0.31647941)×2.20964843022919e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20964843022919e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20964843022919e-05×40589641000000     		ar = 28570.8920752702m²