Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58934 / 27050
↖ ↑ ↗
← N 72.038372°
W 18.132934°		 ← 94.19 m → N 72.038372°
W 18.130188°		 →
↑
94.23 m
↓
↑
94.23 m
↓
N 72.037525°
W 18.132934°		 ← 94.19 m →
8 875 m²		 N 72.037525°
W 18.130188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449634552001953 y=0.206378936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449634552001953 × 217)
    floor (0.449634552001953 × 131072)
    floor (58934.5)     		tx = 58934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206378936767578 × 217)
    floor (0.206378936767578 × 131072)
    floor (27050.5)     		ty = 27050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58934 / 27050 ti = "17/58934/27050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58934/27050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58934 ÷ 217
    58934 ÷ 131072     		x = 0.449630737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27050 ÷ 217
    27050 ÷ 131072     		y = 0.206375122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449630737304688 × 2 - 1) × π
    -0.100738525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31647941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206375122070312 × 2 - 1) × π
    0.587249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84489951877748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31647941} λ = -0.31647941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84489951877748))-π/2
    2×atan(6.32746396714359)-π/2
    2×1.41405155223914-π/2
    2.82810310447828-1.57079632675     		φ = 1.25730678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31647941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.132934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25730678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.038372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58934 KachelY 27050 -0.31647941 1.25730678 -18.132934 72.038372
    Oben rechts KachelX + 1 58935 KachelY 27050 -0.31643147 1.25730678 -18.130188 72.038372
    Unten links KachelX 58934 KachelY + 1 27051 -0.31647941 1.25729199 -18.132934 72.037525
    Unten rechts KachelX + 1 58935 KachelY + 1 27051 -0.31643147 1.25729199 -18.130188 72.037525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25730678-1.25729199) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dl = 94.2270900002693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25730678-1.25729199) × R
    1.47900000000423e-05 × 6371000     		dr = 94.2270900002693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31647941--0.31643147) × cos(1.25730678) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.308379984917501 × 6371000     		do = 94.187185094664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31647941--0.31643147) × cos(1.25729199) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.30839405406735 × 6371000     		du = 94.1914821751676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25730678)-sin(1.25729199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308379984917501-0.30839405406735)×R²
    abs(-0.31643147--0.31647941)×1.40691498484724e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.40691498484724e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.40691498484724e-05×40589641000000     		ar = 8875.18681758484m²