Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58933 / 45942
↖ ↑ ↗
← N 47.297859°
W 18.135681°		 ← 207.14 m → N 47.297859°
W 18.132934°		 →
↑
207.12 m
↓
↑
207.12 m
↓
N 47.295996°
W 18.135681°		 ← 207.14 m →
42 903 m²		 N 47.295996°
W 18.132934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449626922607422 y=0.350513458251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449626922607422 × 217)
    floor (0.449626922607422 × 131072)
    floor (58933.5)     		tx = 58933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350513458251953 × 217)
    floor (0.350513458251953 × 131072)
    floor (45942.5)     		ty = 45942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58933 / 45942 ti = "17/58933/45942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58933/45942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58933 ÷ 217
    58933 ÷ 131072     		x = 0.449623107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45942 ÷ 217
    45942 ÷ 131072     		y = 0.350509643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449623107910156 × 2 - 1) × π
    -0.100753784179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31652735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350509643554688 × 2 - 1) × π
    0.298980712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.93927561115538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31652735} λ = -0.31652735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93927561115538))-π/2
    2×atan(2.55812766784655)-π/2
    2×1.19814984991187-π/2
    2.39629969982375-1.57079632675     		φ = 0.82550337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31652735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.135681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82550337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.297859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58933 KachelY 45942 -0.31652735 0.82550337 -18.135681 47.297859
    Oben rechts KachelX + 1 58934 KachelY 45942 -0.31647941 0.82550337 -18.132934 47.297859
    Unten links KachelX 58933 KachelY + 1 45943 -0.31652735 0.82547086 -18.135681 47.295996
    Unten rechts KachelX + 1 58934 KachelY + 1 45943 -0.31647941 0.82547086 -18.132934 47.295996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82550337-0.82547086) × R
    3.25099999999301e-05 × 6371000     		dl = 207.121209999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82550337-0.82547086) × R
    3.25099999999301e-05 × 6371000     		dr = 207.121209999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31652735--0.31647941) × cos(0.82550337) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.678187130355465 × 6371000     		do = 207.135806147158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31652735--0.31647941) × cos(0.82547086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.678211021246732 × 6371000     		du = 207.143103040303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82550337)-sin(0.82547086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678187130355465-0.678211021246732)×R²
    abs(-0.31647941--0.31652735)×2.38908912679747e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38908912679747e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38908912679747e-05×40589641000000     		ar = 42902.9744778541m²