Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58931 / 30091
↖ ↑ ↗
← N 69.276569°
W 18.141174°		 ← 108.05 m → N 69.276569°
W 18.138428°		 →
↑
108.05 m
↓
↑
108.05 m
↓
N 69.275597°
W 18.141174°		 ← 108.06 m →
11 676 m²		 N 69.275597°
W 18.138428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449611663818359 y=0.229579925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449611663818359 × 217)
    floor (0.449611663818359 × 131072)
    floor (58931.5)     		tx = 58931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229579925537109 × 217)
    floor (0.229579925537109 × 131072)
    floor (30091.5)     		ty = 30091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58931 / 30091 ti = "17/58931/30091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58931/30091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58931 ÷ 217
    58931 ÷ 131072     		x = 0.449607849121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30091 ÷ 217
    30091 ÷ 131072     		y = 0.229576110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449607849121094 × 2 - 1) × π
    -0.100784301757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.31662322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229576110839844 × 2 - 1) × π
    0.540847778320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.69912340703289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31662322} λ = -0.31662322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69912340703289))-π/2
    2×atan(5.46915107045916)-π/2
    2×1.38995027259487-π/2
    2.77990054518974-1.57079632675     		φ = 1.20910422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31662322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.141174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20910422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.276569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58931 KachelY 30091 -0.31662322 1.20910422 -18.141174 69.276569
    Oben rechts KachelX + 1 58932 KachelY 30091 -0.31657529 1.20910422 -18.138428 69.276569
    Unten links KachelX 58931 KachelY + 1 30092 -0.31662322 1.20908726 -18.141174 69.275597
    Unten rechts KachelX + 1 58932 KachelY + 1 30092 -0.31657529 1.20908726 -18.138428 69.275597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20910422-1.20908726) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dl = 108.052159999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20910422-1.20908726) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dr = 108.052159999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31662322--0.31657529) × cos(1.20910422) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.353857365573892 × 6371000     		do = 108.054603482037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31662322--0.31657529) × cos(1.20908726) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.353873228200798 × 6371000     		du = 108.05944732599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20910422)-sin(1.20908726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353857365573892-0.353873228200798)×R²
    abs(-0.31657529--0.31662322)×1.58626269056716e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.58626269056716e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.58626269056716e-05×40589641000000     		ar = 11675.7949984447m²