Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58930 / 39414
↖ ↑ ↗
← N 58.092397°
W 18.143921°		 ← 161.43 m → N 58.092397°
W 18.141174°		 →
↑
161.44 m
↓
↑
161.44 m
↓
N 58.090945°
W 18.143921°		 ← 161.44 m →
26 062 m²		 N 58.090945°
W 18.141174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449604034423828 y=0.300708770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449604034423828 × 217)
    floor (0.449604034423828 × 131072)
    floor (58930.5)     		tx = 58930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300708770751953 × 217)
    floor (0.300708770751953 × 131072)
    floor (39414.5)     		ty = 39414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58930 / 39414 ti = "17/58930/39414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58930/39414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58930 ÷ 217
    58930 ÷ 131072     		x = 0.449600219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39414 ÷ 217
    39414 ÷ 131072     		y = 0.300704956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449600219726562 × 2 - 1) × π
    -0.100799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31667116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300704956054688 × 2 - 1) × π
    0.398590087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25220769187511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31667116} λ = -0.31667116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25220769187511))-π/2
    2×atan(3.49805707131045)-π/2
    2×1.29234995636714-π/2
    2.58469991273428-1.57079632675     		φ = 1.01390359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31667116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.143921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01390359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.092397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58930 KachelY 39414 -0.31667116 1.01390359 -18.143921 58.092397
    Oben rechts KachelX + 1 58931 KachelY 39414 -0.31662322 1.01390359 -18.141174 58.092397
    Unten links KachelX 58930 KachelY + 1 39415 -0.31667116 1.01387825 -18.143921 58.090945
    Unten rechts KachelX + 1 58931 KachelY + 1 39415 -0.31662322 1.01387825 -18.141174 58.090945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01390359-1.01387825) × R
    2.53399999998738e-05 × 6371000     		dl = 161.441139999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01390359-1.01387825) × R
    2.53399999998738e-05 × 6371000     		dr = 161.441139999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31667116--0.31662322) × cos(1.01390359) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.528550993203711 × 6371000     		do = 161.43307822706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31667116--0.31662322) × cos(1.01387825) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.52857250419938 × 6371000     		du = 161.43964823883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01390359)-sin(1.01387825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528550993203711-0.52857250419938)×R²
    abs(-0.31662322--0.31667116)×2.15109956686055e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15109956686055e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15109956686055e-05×40589641000000     		ar = 26062.4705190801m²