Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58930 / 35826
↖ ↑ ↗
← N 62.932735°
W 18.143921°		 ← 138.98 m → N 62.932735°
W 18.141174°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
N 62.931486°
W 18.143921°		 ← 138.99 m →
19 312 m²		 N 62.931486°
W 18.141174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449604034423828 y=0.273334503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449604034423828 × 217)
    floor (0.449604034423828 × 131072)
    floor (58930.5)     		tx = 58930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273334503173828 × 217)
    floor (0.273334503173828 × 131072)
    floor (35826.5)     		ty = 35826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58930 / 35826 ti = "17/58930/35826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58930/35826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58930 ÷ 217
    58930 ÷ 131072     		x = 0.449600219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35826 ÷ 217
    35826 ÷ 131072     		y = 0.273330688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449600219726562 × 2 - 1) × π
    -0.100799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31667116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273330688476562 × 2 - 1) × π
    0.453338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42420528771187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31667116} λ = -0.31667116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42420528771187))-π/2
    2×atan(4.15455485467251)-π/2
    2×1.33458988329776-π/2
    2.66917976659552-1.57079632675     		φ = 1.09838344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31667116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.143921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09838344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.932735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58930 KachelY 35826 -0.31667116 1.09838344 -18.143921 62.932735
    Oben rechts KachelX + 1 58931 KachelY 35826 -0.31662322 1.09838344 -18.141174 62.932735
    Unten links KachelX 58930 KachelY + 1 35827 -0.31667116 1.09836163 -18.143921 62.931486
    Unten rechts KachelX + 1 58931 KachelY + 1 35827 -0.31662322 1.09836163 -18.141174 62.931486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09838344-1.09836163) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09838344-1.09836163) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31667116--0.31662322) × cos(1.09838344) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.455036218284489 × 6371000     		do = 138.979773696411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31667116--0.31662322) × cos(1.09836163) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.455055639390878 × 6371000     		du = 138.985705402202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09838344)-sin(1.09836163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455036218284489-0.455055639390878)×R²
    abs(-0.31662322--0.31667116)×1.94211063889171e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.94211063889171e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.94211063889171e-05×40589641000000     		ar = 19311.8615250723m²