Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5893 / 6941
↖ ↑ ↗
← N 26.490241°
W 50.515137°		 ← 2 186.76 m → N 26.490241°
W 50.493164°		 →
↑
2 186.97 m
↓
↑
2 186.97 m
↓
N 26.470573°
W 50.515137°		 ← 2 187.13 m →
4 782 793 m²		 N 26.470573°
W 50.493164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359710693359375 y=0.423675537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359710693359375 × 214)
    floor (0.359710693359375 × 16384)
    floor (5893.5)     		tx = 5893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423675537109375 × 214)
    floor (0.423675537109375 × 16384)
    floor (6941.5)     		ty = 6941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5893 / 6941 ti = "14/5893/6941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5893/6941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5893 ÷ 214
    5893 ÷ 16384     		x = 0.35968017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6941 ÷ 214
    6941 ÷ 16384     		y = 0.42364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35968017578125 × 2 - 1) × π
    -0.2806396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88165546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42364501953125 × 2 - 1) × π
    0.1527099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.479752491397522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88165546} λ = -0.88165546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479752491397522))-π/2
    2×atan(1.61567445937279)-π/2
    2×1.01656912121746-π/2
    2.03313824243491-1.57079632675     		φ = 0.46234192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88165546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.515137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46234192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.490241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5893 KachelY 6941 -0.88165546 0.46234192 -50.515137 26.490241
    Oben rechts KachelX + 1 5894 KachelY 6941 -0.88127196 0.46234192 -50.493164 26.490241
    Unten links KachelX 5893 KachelY + 1 6942 -0.88165546 0.46199865 -50.515137 26.470573
    Unten rechts KachelX + 1 5894 KachelY + 1 6942 -0.88127196 0.46199865 -50.493164 26.470573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46234192-0.46199865) × R
    0.000343270000000007 × 6371000     		dl = 2186.97317000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46234192-0.46199865) × R
    0.000343270000000007 × 6371000     		dr = 2186.97317000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88165546--0.88127196) × cos(0.46234192) × R
    0.000383499999999981 × 0.895010350286399 × 6371000     		do = 2186.75954613212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88165546--0.88127196) × cos(0.46199865) × R
    0.000383499999999981 × 0.895163411546397 × 6371000     		du = 2187.13351741786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46234192)-sin(0.46199865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895010350286399-0.895163411546397)×R²
    abs(-0.88127196--0.88165546)×0.000153061259998366×R²
    0.000383499999999981×0.000153061259998366×6371000²
    0.000383499999999981×0.000153061259998366×40589641000000     		ar = 4782793.43618184m²