Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5893 / 3333
↖ ↑ ↗
← N 80.638103°
W115.257569°		 ← 198.72 m → N 80.638103°
W115.246582°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
N 80.636316°
W115.257569°		 ← 198.76 m →
39 492 m²		 N 80.636316°
W115.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.179855346679688 y=0.101730346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.179855346679688 × 215)
    floor (0.179855346679688 × 32768)
    floor (5893.5)     		tx = 5893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101730346679688 × 215)
    floor (0.101730346679688 × 32768)
    floor (3333.5)     		ty = 3333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5893 / 3333 ti = "15/5893/3333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5893/3333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5893 ÷ 215
    5893 ÷ 32768     		x = 0.179840087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3333 ÷ 215
    3333 ÷ 32768     		y = 0.101715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.179840087890625 × 2 - 1) × π
    -0.64031982421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.01162406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101715087890625 × 2 - 1) × π
    0.79656982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50249790776541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01162406} λ = -2.01162406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50249790776541))-π/2
    2×atan(12.2129627452341)-π/2
    2×1.48909836554668-π/2
    2.97819673109337-1.57079632675     		φ = 1.40740040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01162406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.257569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40740040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.638103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5893 KachelY 3333 -2.01162406 1.40740040 -115.257569 80.638103
    Oben rechts KachelX + 1 5894 KachelY 3333 -2.01143231 1.40740040 -115.246582 80.638103
    Unten links KachelX 5893 KachelY + 1 3334 -2.01162406 1.40736921 -115.257569 80.636316
    Unten rechts KachelX + 1 5894 KachelY + 1 3334 -2.01143231 1.40736921 -115.246582 80.636316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40740040-1.40736921) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000     		dl = 198.711490000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40740040-1.40736921) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000     		dr = 198.711490000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01162406--2.01143231) × cos(1.40740040) × R
    0.000191749999999935 × 0.162669833101444 × 6371000     		do = 198.723852907606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01162406--2.01143231) × cos(1.40736921) × R
    0.000191749999999935 × 0.162700607588949 × 6371000     		du = 198.76144822944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40740040)-sin(1.40736921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162669833101444-0.162700607588949)×R²
    abs(-2.01143231--2.01162406)×3.07744875046589e-05×R²
    0.000191749999999935×3.07744875046589e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.07744875046589e-05×40589641000000     		ar = 39492.4482243862m²