Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58929 / 45490
↖ ↑ ↗
← N 48.133101°
W 18.146668°		 ← 203.84 m → N 48.133101°
W 18.143921°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
N 48.131267°
W 18.146668°		 ← 203.85 m →
41 558 m²		 N 48.131267°
W 18.143921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449596405029297 y=0.347064971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449596405029297 × 217)
    floor (0.449596405029297 × 131072)
    floor (58929.5)     		tx = 58929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347064971923828 × 217)
    floor (0.347064971923828 × 131072)
    floor (45490.5)     		ty = 45490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58929 / 45490 ti = "17/58929/45490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58929/45490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58929 ÷ 217
    58929 ÷ 131072     		x = 0.449592590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45490 ÷ 217
    45490 ÷ 131072     		y = 0.347061157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449592590332031 × 2 - 1) × π
    -0.100814819335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31671910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347061157226562 × 2 - 1) × π
    0.305877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.960943089783646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31671910} λ = -0.31671910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960943089783646))-π/2
    2×atan(2.61416069949576)-π/2
    2×1.2054387062389-π/2
    2.4108774124778-1.57079632675     		φ = 0.84008109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31671910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.146668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84008109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.133101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58929 KachelY 45490 -0.31671910 0.84008109 -18.146668 48.133101
    Oben rechts KachelX + 1 58930 KachelY 45490 -0.31667116 0.84008109 -18.143921 48.133101
    Unten links KachelX 58929 KachelY + 1 45491 -0.31671910 0.84004909 -18.146668 48.131267
    Unten rechts KachelX + 1 58930 KachelY + 1 45491 -0.31667116 0.84004909 -18.143921 48.131267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84008109-0.84004909) × R
    3.1999999999921e-05 × 6371000     		dl = 203.871999999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84008109-0.84004909) × R
    3.1999999999921e-05 × 6371000     		dr = 203.871999999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31671910--0.31667116) × cos(0.84008109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667402440536296 × 6371000     		do = 203.84188427847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31671910--0.31667116) × cos(0.84004909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667426270506328 × 6371000     		du = 203.849162564702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84008109)-sin(0.84004909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667402440536296-0.667426270506328)×R²
    abs(-0.31667116--0.31671910)×2.3829970032474e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3829970032474e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3829970032474e-05×40589641000000     		ar = 41558.3945544708m²