Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58929 / 35817
↖ ↑ ↗
← N 62.943981°
W 18.146668°		 ← 138.93 m → N 62.943981°
W 18.143921°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
N 62.942732°
W 18.146668°		 ← 138.93 m →
19 304 m²		 N 62.942732°
W 18.143921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449596405029297 y=0.273265838623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449596405029297 × 217)
    floor (0.449596405029297 × 131072)
    floor (58929.5)     		tx = 58929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273265838623047 × 217)
    floor (0.273265838623047 × 131072)
    floor (35817.5)     		ty = 35817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58929 / 35817 ti = "17/58929/35817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58929/35817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58929 ÷ 217
    58929 ÷ 131072     		x = 0.449592590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35817 ÷ 217
    35817 ÷ 131072     		y = 0.273262023925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449592590332031 × 2 - 1) × π
    -0.100814819335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31671910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273262023925781 × 2 - 1) × π
    0.453475952148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.42463671980845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31671910} λ = -0.31671910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42463671980845))-π/2
    2×atan(4.15634764969067)-π/2
    2×1.3346880230592-π/2
    2.6693760461184-1.57079632675     		φ = 1.09857972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31671910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.146668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09857972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.943981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58929 KachelY 35817 -0.31671910 1.09857972 -18.146668 62.943981
    Oben rechts KachelX + 1 58930 KachelY 35817 -0.31667116 1.09857972 -18.143921 62.943981
    Unten links KachelX 58929 KachelY + 1 35818 -0.31671910 1.09855791 -18.146668 62.942732
    Unten rechts KachelX + 1 58930 KachelY + 1 35818 -0.31667116 1.09855791 -18.143921 62.942732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09857972-1.09855791) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09857972-1.09855791) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31671910--0.31667116) × cos(1.09857972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454861427493476 × 6371000     		do = 138.92638808956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31671910--0.31667116) × cos(1.09855791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454880850547482 × 6371000     		du = 138.932320390203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09857972)-sin(1.09855791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454861427493476-0.454880850547482)×R²
    abs(-0.31667116--0.31671910)×1.94230540058182e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94230540058182e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94230540058182e-05×40589641000000     		ar = 19304.44355571m²