Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58927 / 40439
↖ ↑ ↗
← N 56.573102°
W 18.152161°		 ← 168.25 m → N 56.573102°
W 18.149414°		 →
↑
168.26 m
↓
↑
168.26 m
↓
N 56.571589°
W 18.152161°		 ← 168.26 m →
28 310 m²		 N 56.571589°
W 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449581146240234 y=0.308528900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449581146240234 × 217)
    floor (0.449581146240234 × 131072)
    floor (58927.5)     		tx = 58927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308528900146484 × 217)
    floor (0.308528900146484 × 131072)
    floor (40439.5)     		ty = 40439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58927 / 40439 ti = "17/58927/40439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58927/40439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58927 ÷ 217
    58927 ÷ 131072     		x = 0.449577331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40439 ÷ 217
    40439 ÷ 131072     		y = 0.308525085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449577331542969 × 2 - 1) × π
    -0.100845336914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.31681497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308525085449219 × 2 - 1) × π
    0.382949829101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.20307236976455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31681497} λ = -0.31681497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20307236976455))-π/2
    2×atan(3.33033323569388)-π/2
    2×1.27909161312753-π/2
    2.55818322625507-1.57079632675     		φ = 0.98738690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31681497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.152161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98738690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.573102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58927 KachelY 40439 -0.31681497 0.98738690 -18.152161 56.573102
    Oben rechts KachelX + 1 58928 KachelY 40439 -0.31676703 0.98738690 -18.149414 56.573102
    Unten links KachelX 58927 KachelY + 1 40440 -0.31681497 0.98736049 -18.152161 56.571589
    Unten rechts KachelX + 1 58928 KachelY + 1 40440 -0.31676703 0.98736049 -18.149414 56.571589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98738690-0.98736049) × R
    2.64099999999212e-05 × 6371000     		dl = 168.258109999498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98738690-0.98736049) × R
    2.64099999999212e-05 × 6371000     		dr = 168.258109999498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31681497--0.31676703) × cos(0.98738690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.550872604273947 × 6371000     		do = 168.250672805987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31681497--0.31676703) × cos(0.98736049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.550894645586417 × 6371000     		du = 168.257404790159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98738690)-sin(0.98736049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550872604273947-0.550894645586417)×R²
    abs(-0.31676703--0.31681497)×2.20413124705221e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20413124705221e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20413124705221e-05×40589641000000     		ar = 28310.1065695316m²