Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58927 / 30075
↖ ↑ ↗
← N 69.292114°
W 18.152161°		 ← 108 m → N 69.292114°
W 18.149414°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
N 69.291143°
W 18.152161°		 ← 108 m →
11 663 m²		 N 69.291143°
W 18.149414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449581146240234 y=0.229457855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449581146240234 × 217)
    floor (0.449581146240234 × 131072)
    floor (58927.5)     		tx = 58927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229457855224609 × 217)
    floor (0.229457855224609 × 131072)
    floor (30075.5)     		ty = 30075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58927 / 30075 ti = "17/58927/30075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58927/30075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58927 ÷ 217
    58927 ÷ 131072     		x = 0.449577331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30075 ÷ 217
    30075 ÷ 131072     		y = 0.229454040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449577331542969 × 2 - 1) × π
    -0.100845336914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.31681497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229454040527344 × 2 - 1) × π
    0.541091918945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.69989039742681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31681497} λ = -0.31681497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69989039742681))-π/2
    2×atan(5.47334746588487)-π/2
    2×1.39008592653133-π/2
    2.78017185306267-1.57079632675     		φ = 1.20937553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31681497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.152161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20937553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.292114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58927 KachelY 30075 -0.31681497 1.20937553 -18.152161 69.292114
    Oben rechts KachelX + 1 58928 KachelY 30075 -0.31676703 1.20937553 -18.149414 69.292114
    Unten links KachelX 58927 KachelY + 1 30076 -0.31681497 1.20935858 -18.152161 69.291143
    Unten rechts KachelX + 1 58928 KachelY + 1 30076 -0.31676703 1.20935858 -18.149414 69.291143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20937553-1.20935858) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20937553-1.20935858) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31681497--0.31676703) × cos(1.20937553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353603596473635 × 6371000     		do = 107.999640119551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31681497--0.31676703) × cos(1.20935858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353619451374346 × 6371000     		du = 108.004482614333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20937553)-sin(1.20935858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353603596473635-0.353619451374346)×R²
    abs(-0.31676703--0.31681497)×1.58549007101549e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58549007101549e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58549007101549e-05×40589641000000     		ar = 11662.9752040123m²