Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58926 / 45999
↖ ↑ ↗
← N 47.191579°
W 18.154907°		 ← 207.55 m → N 47.191579°
W 18.152161°		 →
↑
207.50 m
↓
↑
207.50 m
↓
N 47.189713°
W 18.154907°		 ← 207.56 m →
43 068 m²		 N 47.189713°
W 18.152161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449573516845703 y=0.350948333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449573516845703 × 217)
    floor (0.449573516845703 × 131072)
    floor (58926.5)     		tx = 58926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350948333740234 × 217)
    floor (0.350948333740234 × 131072)
    floor (45999.5)     		ty = 45999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58926 / 45999 ti = "17/58926/45999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58926/45999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58926 ÷ 217
    58926 ÷ 131072     		x = 0.449569702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45999 ÷ 217
    45999 ÷ 131072     		y = 0.350944519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449569702148438 × 2 - 1) × π
    -0.100860595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31686291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350944519042969 × 2 - 1) × π
    0.298110961914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.936543207877037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31686291} λ = -0.31686291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936543207877037))-π/2
    2×atan(2.5511473722547)-π/2
    2×1.19722237920147-π/2
    2.39444475840294-1.57079632675     		φ = 0.82364843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31686291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.154907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82364843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.191579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58926 KachelY 45999 -0.31686291 0.82364843 -18.154907 47.191579
    Oben rechts KachelX + 1 58927 KachelY 45999 -0.31681497 0.82364843 -18.152161 47.191579
    Unten links KachelX 58926 KachelY + 1 46000 -0.31686291 0.82361586 -18.154907 47.189713
    Unten rechts KachelX + 1 58927 KachelY + 1 46000 -0.31681497 0.82361586 -18.152161 47.189713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82364843-0.82361586) × R
    3.25700000000095e-05 × 6371000     		dl = 207.503470000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82364843-0.82361586) × R
    3.25700000000095e-05 × 6371000     		dr = 207.503470000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31686291--0.31681497) × cos(0.82364843) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67954913829365 × 6371000     		do = 207.551798429805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31686291--0.31681497) × cos(0.82361586) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679573032262128 × 6371000     		du = 207.559096262809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82364843)-sin(0.82361586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67954913829365-0.679573032262128)×R²
    abs(-0.31681497--0.31686291)×2.38939684780171e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38939684780171e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38939684780171e-05×40589641000000     		ar = 43068.4755456052m²