Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58925 / 86481
↖ ↑ ↗
← S 49.754655°
W 18.157654°		 ← 197.28 m → S 49.754655°
W 18.154907°		 →
↑
197.31 m
↓
↑
197.31 m
↓
S 49.756429°
W 18.157654°		 ← 197.28 m →
38 925 m²		 S 49.756429°
W 18.154907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449565887451172 y=0.659801483154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449565887451172 × 217)
    floor (0.449565887451172 × 131072)
    floor (58925.5)     		tx = 58925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659801483154297 × 217)
    floor (0.659801483154297 × 131072)
    floor (86481.5)     		ty = 86481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58925 / 86481 ti = "17/58925/86481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58925/86481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58925 ÷ 217
    58925 ÷ 131072     		x = 0.449562072753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86481 ÷ 217
    86481 ÷ 131072     		y = 0.659797668457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449562072753906 × 2 - 1) × π
    -0.100875854492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31691084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659797668457031 × 2 - 1) × π
    -0.319595336914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.00403836254208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31691084} λ = -0.31691084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00403836254208))-π/2
    2×atan(0.366396806339646)-π/2
    2×0.351206894419199-π/2
    0.702413788838398-1.57079632675     		φ = -0.86838254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31691084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.157654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86838254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.754655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58925 KachelY 86481 -0.31691084 -0.86838254 -18.157654 -49.754655
    Oben rechts KachelX + 1 58926 KachelY 86481 -0.31686291 -0.86838254 -18.154907 -49.754655
    Unten links KachelX 58925 KachelY + 1 86482 -0.31691084 -0.86841351 -18.157654 -49.756429
    Unten rechts KachelX + 1 58926 KachelY + 1 86482 -0.31686291 -0.86841351 -18.154907 -49.756429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86838254--0.86841351) × R
    3.09699999999635e-05 × 6371000     		dl = 197.309869999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86838254--0.86841351) × R
    3.09699999999635e-05 × 6371000     		dr = 197.309869999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31691084--0.31686291) × cos(-0.86838254) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.646061974693472 × 6371000     		do = 197.282796098328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31691084--0.31686291) × cos(-0.86841351) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.646038335448541 × 6371000     		du = 197.275577570508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86838254)-sin(-0.86841351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646061974693472-0.646038335448541)×R²
    abs(-0.31686291--0.31691084)×2.36392449319833e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36392449319833e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36392449319833e-05×40589641000000     		ar = 38925.1307111477m²