Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58925 / 46001
↖ ↑ ↗
← N 47.187846°
W 18.157654°		 ← 207.52 m → N 47.187846°
W 18.154907°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
N 47.185979°
W 18.157654°		 ← 207.53 m →
43 076 m²		 N 47.185979°
W 18.154907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449565887451172 y=0.350963592529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449565887451172 × 217)
    floor (0.449565887451172 × 131072)
    floor (58925.5)     		tx = 58925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350963592529297 × 217)
    floor (0.350963592529297 × 131072)
    floor (46001.5)     		ty = 46001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58925 / 46001 ti = "17/58925/46001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58925/46001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58925 ÷ 217
    58925 ÷ 131072     		x = 0.449562072753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46001 ÷ 217
    46001 ÷ 131072     		y = 0.350959777832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449562072753906 × 2 - 1) × π
    -0.100875854492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31691084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350959777832031 × 2 - 1) × π
    0.298080444335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.936447334077797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31691084} λ = -0.31691084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936447334077797))-π/2
    2×atan(2.55090279578813)-π/2
    2×1.19718980257708-π/2
    2.39437960515416-1.57079632675     		φ = 0.82358328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31691084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.157654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82358328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.187846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58925 KachelY 46001 -0.31691084 0.82358328 -18.157654 47.187846
    Oben rechts KachelX + 1 58926 KachelY 46001 -0.31686291 0.82358328 -18.154907 47.187846
    Unten links KachelX 58925 KachelY + 1 46002 -0.31691084 0.82355070 -18.157654 47.185979
    Unten rechts KachelX + 1 58926 KachelY + 1 46002 -0.31686291 0.82355070 -18.154907 47.185979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82358328-0.82355070) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dl = 207.567180000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82358328-0.82355070) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dr = 207.567180000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31691084--0.31686291) × cos(0.82358328) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679596932845569 × 6371000     		do = 207.523098995624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31691084--0.31686291) × cos(0.82355070) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679620832707647 × 6371000     		du = 207.530397106025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82358328)-sin(0.82355070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679596932845569-0.679620832707647)×R²
    abs(-0.31686291--0.31691084)×2.38998620782915e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38998620782915e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38998620782915e-05×40589641000000     		ar = 43075.7418714168m²