Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58925 / 45325
↖ ↑ ↗
← N 48.434668°
W 18.157654°		 ← 202.60 m → N 48.434668°
W 18.154907°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
N 48.432845°
W 18.157654°		 ← 202.61 m →
41 047 m²		 N 48.432845°
W 18.154907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449565887451172 y=0.345806121826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449565887451172 × 217)
    floor (0.449565887451172 × 131072)
    floor (58925.5)     		tx = 58925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345806121826172 × 217)
    floor (0.345806121826172 × 131072)
    floor (45325.5)     		ty = 45325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58925 / 45325 ti = "17/58925/45325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58925/45325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58925 ÷ 217
    58925 ÷ 131072     		x = 0.449562072753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45325 ÷ 217
    45325 ÷ 131072     		y = 0.345802307128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449562072753906 × 2 - 1) × π
    -0.100875854492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31691084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345802307128906 × 2 - 1) × π
    0.308395385742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.968852678220955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31691084} λ = -0.31691084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968852678220955))-π/2
    2×atan(2.6349196237857)-π/2
    2×1.20807037515937-π/2
    2.41614075031875-1.57079632675     		φ = 0.84534442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31691084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.157654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84534442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.434668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58925 KachelY 45325 -0.31691084 0.84534442 -18.157654 48.434668
    Oben rechts KachelX + 1 58926 KachelY 45325 -0.31686291 0.84534442 -18.154907 48.434668
    Unten links KachelX 58925 KachelY + 1 45326 -0.31691084 0.84531262 -18.157654 48.432845
    Unten rechts KachelX + 1 58926 KachelY + 1 45326 -0.31686291 0.84531262 -18.154907 48.432845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84534442-0.84531262) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dl = 202.597800000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84534442-0.84531262) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dr = 202.597800000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31691084--0.31686291) × cos(0.84534442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663473626913923 × 6371000     		do = 202.599653566022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31691084--0.31686291) × cos(0.84531262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663497419327964 × 6371000     		du = 202.606918865872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84534442)-sin(0.84531262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663473626913923-0.663497419327964)×R²
    abs(-0.31686291--0.31691084)×2.37924140408241e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37924140408241e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37924140408241e-05×40589641000000     		ar = 41046.9800636878m²