Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58924 / 46020
↖ ↑ ↗
← N 47.152369°
W 18.160400°		 ← 207.71 m → N 47.152369°
W 18.157654°		 →
↑
207.69 m
↓
↑
207.69 m
↓
N 47.150501°
W 18.160400°		 ← 207.71 m →
43 140 m²		 N 47.150501°
W 18.157654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449558258056641 y=0.351108551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449558258056641 × 217)
    floor (0.449558258056641 × 131072)
    floor (58924.5)     		tx = 58924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351108551025391 × 217)
    floor (0.351108551025391 × 131072)
    floor (46020.5)     		ty = 46020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58924 / 46020 ti = "17/58924/46020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58924/46020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58924 ÷ 217
    58924 ÷ 131072     		x = 0.449554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46020 ÷ 217
    46020 ÷ 131072     		y = 0.351104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.10089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31695878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351104736328125 × 2 - 1) × π
    0.29779052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.935536532985016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31695878} λ = -0.31695878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935536532985016))-π/2
    2×atan(2.54858048847471)-π/2
    2×1.19688021036616-π/2
    2.39376042073232-1.57079632675     		φ = 0.82296409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31695878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.160400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82296409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.152369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58924 KachelY 46020 -0.31695878 0.82296409 -18.160400 47.152369
    Oben rechts KachelX + 1 58925 KachelY 46020 -0.31691084 0.82296409 -18.157654 47.152369
    Unten links KachelX 58924 KachelY + 1 46021 -0.31695878 0.82293149 -18.160400 47.150501
    Unten rechts KachelX + 1 58925 KachelY + 1 46021 -0.31691084 0.82293149 -18.157654 47.150501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82296409-0.82293149) × R
    3.26000000000493e-05 × 6371000     		dl = 207.694600000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82296409-0.82293149) × R
    3.26000000000493e-05 × 6371000     		dr = 207.694600000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31695878--0.31691084) × cos(0.82296409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680051031481173 × 6371000     		do = 207.705089527764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31695878--0.31691084) × cos(0.82293149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68007493229163 × 6371000     		du = 207.712389450485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82296409)-sin(0.82293149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680051031481173-0.68007493229163)×R²
    abs(-0.31691084--0.31695878)×2.39008104571115e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39008104571115e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39008104571115e-05×40589641000000     		ar = 43139.9835685549m²