Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58917 / 37802
↖ ↑ ↗
← N 60.356847°
W 18.179627°		 ← 151.06 m → N 60.356847°
W 18.176880°		 →
↑
151.06 m
↓
↑
151.06 m
↓
N 60.355489°
W 18.179627°		 ← 151.07 m →
22 819 m²		 N 60.355489°
W 18.176880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449504852294922 y=0.288410186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449504852294922 × 217)
    floor (0.449504852294922 × 131072)
    floor (58917.5)     		tx = 58917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288410186767578 × 217)
    floor (0.288410186767578 × 131072)
    floor (37802.5)     		ty = 37802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58917 / 37802 ti = "17/58917/37802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58917/37802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58917 ÷ 217
    58917 ÷ 131072     		x = 0.449501037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37802 ÷ 217
    37802 ÷ 131072     		y = 0.288406372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449501037597656 × 2 - 1) × π
    -0.100997924804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31729434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288406372070312 × 2 - 1) × π
    0.423187255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32948197406264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31729434} λ = -0.31729434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32948197406264))-π/2
    2×atan(3.77908521625928)-π/2
    2×1.31211101953317-π/2
    2.62422203906635-1.57079632675     		φ = 1.05342571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31729434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.179627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05342571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.356847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58917 KachelY 37802 -0.31729434 1.05342571 -18.179627 60.356847
    Oben rechts KachelX + 1 58918 KachelY 37802 -0.31724640 1.05342571 -18.176880 60.356847
    Unten links KachelX 58917 KachelY + 1 37803 -0.31729434 1.05340200 -18.179627 60.355489
    Unten rechts KachelX + 1 58918 KachelY + 1 37803 -0.31724640 1.05340200 -18.176880 60.355489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05342571-1.05340200) × R
    2.37100000000101e-05 × 6371000     		dl = 151.056410000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05342571-1.05340200) × R
    2.37100000000101e-05 × 6371000     		dr = 151.056410000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31729434--0.31724640) × cos(1.05342571) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.494596593668729 × 6371000     		do = 151.062530622827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31729434--0.31724640) × cos(1.05340200) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.494617200428129 × 6371000     		du = 151.068824457565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05342571)-sin(1.05340200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494596593668729-0.494617200428129)×R²
    abs(-0.31724640--0.31729434)×2.06067594000214e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06067594000214e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06067594000214e-05×40589641000000     		ar = 22819.4389245146m²