Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58917 / 31045
↖ ↑ ↗
← N 68.329305°
W 18.179627°		 ← 112.79 m → N 68.329305°
W 18.176880°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
N 68.328291°
W 18.179627°		 ← 112.79 m →
12 719 m²		 N 68.328291°
W 18.176880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449504852294922 y=0.236858367919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449504852294922 × 217)
    floor (0.449504852294922 × 131072)
    floor (58917.5)     		tx = 58917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236858367919922 × 217)
    floor (0.236858367919922 × 131072)
    floor (31045.5)     		ty = 31045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58917 / 31045 ti = "17/58917/31045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58917/31045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58917 ÷ 217
    58917 ÷ 131072     		x = 0.449501037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31045 ÷ 217
    31045 ÷ 131072     		y = 0.236854553222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449501037597656 × 2 - 1) × π
    -0.100997924804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.31729434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236854553222656 × 2 - 1) × π
    0.526290893554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.65339160479536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31729434} λ = -0.31729434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65339160479536))-π/2
    2×atan(5.22466982671736)-π/2
    2×1.38168384022777-π/2
    2.76336768045553-1.57079632675     		φ = 1.19257135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31729434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.179627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19257135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.329305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58917 KachelY 31045 -0.31729434 1.19257135 -18.179627 68.329305
    Oben rechts KachelX + 1 58918 KachelY 31045 -0.31724640 1.19257135 -18.176880 68.329305
    Unten links KachelX 58917 KachelY + 1 31046 -0.31729434 1.19255365 -18.179627 68.328291
    Unten rechts KachelX + 1 58918 KachelY + 1 31046 -0.31724640 1.19255365 -18.176880 68.328291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19257135-1.19255365) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dl = 112.766699999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19257135-1.19255365) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dr = 112.766699999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31729434--0.31724640) × cos(1.19257135) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.369271484669904 × 6371000     		do = 112.785016466261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31729434--0.31724640) × cos(1.19255365) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.369287933603754 × 6371000     		du = 112.790040394054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19257135)-sin(1.19255365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369271484669904-0.369287933603754)×R²
    abs(-0.31724640--0.31729434)×1.6448933849611e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.6448933849611e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.6448933849611e-05×40589641000000     		ar = 12718.6773825643m²