Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58916 / 85413
↖ ↑ ↗
← S 47.822376°
W 18.182373°		 ← 205.07 m → S 47.822376°
W 18.179627°		 →
↑
205.02 m
↓
↑
205.02 m
↓
S 47.824220°
W 18.182373°		 ← 205.07 m →
42 043 m²		 S 47.824220°
W 18.179627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449497222900391 y=0.651653289794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449497222900391 × 217)
    floor (0.449497222900391 × 131072)
    floor (58916.5)     		tx = 58916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651653289794922 × 217)
    floor (0.651653289794922 × 131072)
    floor (85413.5)     		ty = 85413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58916 / 85413 ti = "17/58916/85413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58916/85413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58916 ÷ 217
    58916 ÷ 131072     		x = 0.449493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85413 ÷ 217
    85413 ÷ 131072     		y = 0.651649475097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.10101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31734228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651649475097656 × 2 - 1) × π
    -0.303298950195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.952841753747856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31734228} λ = -0.31734228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952841753747856))-π/2
    2×atan(0.385643560799509)-π/2
    2×0.368069204384032-π/2
    0.736138408768064-1.57079632675     		φ = -0.83465792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31734228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.182373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83465792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.822376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58916 KachelY 85413 -0.31734228 -0.83465792 -18.182373 -47.822376
    Oben rechts KachelX + 1 58917 KachelY 85413 -0.31729434 -0.83465792 -18.179627 -47.822376
    Unten links KachelX 58916 KachelY + 1 85414 -0.31734228 -0.83469010 -18.182373 -47.824220
    Unten rechts KachelX + 1 58917 KachelY + 1 85414 -0.31729434 -0.83469010 -18.179627 -47.824220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83465792--0.83469010) × R
    3.21799999999373e-05 × 6371000     		dl = 205.0187799996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83465792--0.83469010) × R
    3.21799999999373e-05 × 6371000     		dr = 205.0187799996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31734228--0.31729434) × cos(-0.83465792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67143122609545 × 6371000     		do = 205.072379089176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31734228--0.31729434) × cos(-0.83469010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671407378215865 × 6371000     		du = 205.065095332906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83465792)-sin(-0.83469010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67143122609545-0.671407378215865)×R²
    abs(-0.31729434--0.31734228)×2.38478795846486e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38478795846486e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38478795846486e-05×40589641000000     		ar = 42042.942322673m²