Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58916 / 46004
↖ ↑ ↗
← N 47.182246°
W 18.182373°		 ← 207.59 m → N 47.182246°
W 18.179627°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
N 47.180379°
W 18.182373°		 ← 207.60 m →
43 089 m²		 N 47.180379°
W 18.179627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449497222900391 y=0.350986480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449497222900391 × 217)
    floor (0.449497222900391 × 131072)
    floor (58916.5)     		tx = 58916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350986480712891 × 217)
    floor (0.350986480712891 × 131072)
    floor (46004.5)     		ty = 46004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58916 / 46004 ti = "17/58916/46004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58916/46004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58916 ÷ 217
    58916 ÷ 131072     		x = 0.449493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46004 ÷ 217
    46004 ÷ 131072     		y = 0.350982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.10101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31734228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350982666015625 × 2 - 1) × π
    0.29803466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.936303523378937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31734228} λ = -0.31734228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936303523378937))-π/2
    2×atan(2.55053597505135)-π/2
    2×1.1971409333444-π/2
    2.3942818666888-1.57079632675     		φ = 0.82348554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31734228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.182373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82348554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.182246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58916 KachelY 46004 -0.31734228 0.82348554 -18.182373 47.182246
    Oben rechts KachelX + 1 58917 KachelY 46004 -0.31729434 0.82348554 -18.179627 47.182246
    Unten links KachelX 58916 KachelY + 1 46005 -0.31734228 0.82345296 -18.182373 47.180379
    Unten rechts KachelX + 1 58917 KachelY + 1 46005 -0.31729434 0.82345296 -18.179627 47.180379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82348554-0.82345296) × R
    3.25799999999488e-05 × 6371000     		dl = 207.567179999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82348554-0.82345296) × R
    3.25799999999488e-05 × 6371000     		dr = 207.567179999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31734228--0.31729434) × cos(0.82348554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679668630267615 × 6371000     		do = 207.588294354136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31734228--0.31729434) × cos(0.82345296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.679692527965453 × 6371000     		du = 207.595593326183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82348554)-sin(0.82345296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679668630267615-0.679692527965453)×R²
    abs(-0.31729434--0.31734228)×2.38976978385042e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38976978385042e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38976978385042e-05×40589641000000     		ar = 43089.2743774946m²