Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58916 / 45330
↖ ↑ ↗
← N 48.425555°
W 18.182373°		 ← 202.68 m → N 48.425555°
W 18.179627°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
N 48.423733°
W 18.182373°		 ← 202.69 m →
41 076 m²		 N 48.423733°
W 18.179627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449497222900391 y=0.345844268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449497222900391 × 217)
    floor (0.449497222900391 × 131072)
    floor (58916.5)     		tx = 58916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345844268798828 × 217)
    floor (0.345844268798828 × 131072)
    floor (45330.5)     		ty = 45330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58916 / 45330 ti = "17/58916/45330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58916/45330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58916 ÷ 217
    58916 ÷ 131072     		x = 0.449493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45330 ÷ 217
    45330 ÷ 131072     		y = 0.345840454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.10101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31734228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345840454101562 × 2 - 1) × π
    0.308319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.968612993722855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31734228} λ = -0.31734228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968612993722855))-π/2
    2×atan(2.63428815007839)-π/2
    2×1.20799085585843-π/2
    2.41598171171686-1.57079632675     		φ = 0.84518538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31734228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.182373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84518538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.425555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58916 KachelY 45330 -0.31734228 0.84518538 -18.182373 48.425555
    Oben rechts KachelX + 1 58917 KachelY 45330 -0.31729434 0.84518538 -18.179627 48.425555
    Unten links KachelX 58916 KachelY + 1 45331 -0.31734228 0.84515357 -18.182373 48.423733
    Unten rechts KachelX + 1 58917 KachelY + 1 45331 -0.31729434 0.84515357 -18.179627 48.423733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84518538-0.84515357) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dl = 202.66150999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84518538-0.84515357) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dr = 202.66150999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31734228--0.31729434) × cos(0.84518538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663592612198101 × 6371000     		do = 202.678264639005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31734228--0.31729434) × cos(0.84515357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663616408737012 × 6371000     		du = 202.685532714511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84518538)-sin(0.84515357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663592612198101-0.663616408737012)×R²
    abs(-0.31729434--0.31734228)×2.37965389108252e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37965389108252e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37965389108252e-05×40589641000000     		ar = 41075.8196389268m²