Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58915 / 46047
↖ ↑ ↗
← N 47.101914°
W 18.185119°		 ← 207.86 m → N 47.101914°
W 18.182373°		 →
↑
207.89 m
↓
↑
207.89 m
↓
N 47.100045°
W 18.185119°		 ← 207.87 m →
43 212 m²		 N 47.100045°
W 18.182373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449489593505859 y=0.351314544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449489593505859 × 217)
    floor (0.449489593505859 × 131072)
    floor (58915.5)     		tx = 58915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351314544677734 × 217)
    floor (0.351314544677734 × 131072)
    floor (46047.5)     		ty = 46047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58915 / 46047 ti = "17/58915/46047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58915/46047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58915 ÷ 217
    58915 ÷ 131072     		x = 0.449485778808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46047 ÷ 217
    46047 ÷ 131072     		y = 0.351310729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449485778808594 × 2 - 1) × π
    -0.101028442382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.31739021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351310729980469 × 2 - 1) × π
    0.297378540039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.934242236695274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31739021} λ = -0.31739021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.934242236695274))-π/2
    2×atan(2.54528400397838)-π/2
    2×1.19643990778579-π/2
    2.39287981557158-1.57079632675     		φ = 0.82208349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31739021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.185119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82208349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.101914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58915 KachelY 46047 -0.31739021 0.82208349 -18.185119 47.101914
    Oben rechts KachelX + 1 58916 KachelY 46047 -0.31734228 0.82208349 -18.182373 47.101914
    Unten links KachelX 58915 KachelY + 1 46048 -0.31739021 0.82205086 -18.185119 47.100045
    Unten rechts KachelX + 1 58916 KachelY + 1 46048 -0.31734228 0.82205086 -18.182373 47.100045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82208349-0.82205086) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dl = 207.88572999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82208349-0.82205086) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dr = 207.88572999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31739021--0.31734228) × cos(0.82208349) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.680696392628036 × 6371000     		do = 207.858832266701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31739021--0.31734228) × cos(0.82205086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.680720295882583 × 6371000     		du = 207.866131413033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82208349)-sin(0.82205086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680696392628036-0.680720295882583)×R²
    abs(-0.31734228--0.31739021)×2.39032545470419e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39032545470419e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39032545470419e-05×40589641000000     		ar = 43211.6437806308m²