Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58915 / 30052
↖ ↑ ↗
← N 69.314440°
W 18.185119°		 ← 107.87 m → N 69.314440°
W 18.182373°		 →
↑
107.86 m
↓
↑
107.86 m
↓
N 69.313470°
W 18.185119°		 ← 107.87 m →
11 635 m²		 N 69.313470°
W 18.182373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449489593505859 y=0.229282379150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449489593505859 × 217)
    floor (0.449489593505859 × 131072)
    floor (58915.5)     		tx = 58915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229282379150391 × 217)
    floor (0.229282379150391 × 131072)
    floor (30052.5)     		ty = 30052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58915 / 30052 ti = "17/58915/30052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58915/30052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58915 ÷ 217
    58915 ÷ 131072     		x = 0.449485778808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30052 ÷ 217
    30052 ÷ 131072     		y = 0.229278564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449485778808594 × 2 - 1) × π
    -0.101028442382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.31739021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229278564453125 × 2 - 1) × π
    0.54144287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70099294611807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31739021} λ = -0.31739021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70099294611807))-π/2
    2×atan(5.47938542593103)-π/2
    2×1.39028075863529-π/2
    2.78056151727059-1.57079632675     		φ = 1.20976519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31739021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.185119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20976519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.314440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58915 KachelY 30052 -0.31739021 1.20976519 -18.185119 69.314440
    Oben rechts KachelX + 1 58916 KachelY 30052 -0.31734228 1.20976519 -18.182373 69.314440
    Unten links KachelX 58915 KachelY + 1 30053 -0.31739021 1.20974826 -18.185119 69.313470
    Unten rechts KachelX + 1 58916 KachelY + 1 30053 -0.31734228 1.20974826 -18.182373 69.313470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20976519-1.20974826) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dl = 107.861029999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20976519-1.20974826) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dr = 107.861029999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31739021--0.31734228) × cos(1.20976519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353239083478644 × 6371000     		do = 107.865803606444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31739021--0.31734228) × cos(1.20974826) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35325492200312 × 6371000     		du = 107.87064009043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20976519)-sin(1.20974826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353239083478644-0.35325492200312)×R²
    abs(-0.31734228--0.31739021)×1.58385244754533e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58385244754533e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58385244754533e-05×40589641000000     		ar = 11634.7775129978m²