Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58913 / 46053
↖ ↑ ↗
← N 47.090696°
W 18.190613°		 ← 207.95 m → N 47.090696°
W 18.187866°		 →
↑
207.95 m
↓
↑
207.95 m
↓
N 47.088826°
W 18.190613°		 ← 207.95 m →
43 243 m²		 N 47.088826°
W 18.187866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449474334716797 y=0.351360321044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449474334716797 × 217)
    floor (0.449474334716797 × 131072)
    floor (58913.5)     		tx = 58913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351360321044922 × 217)
    floor (0.351360321044922 × 131072)
    floor (46053.5)     		ty = 46053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58913 / 46053 ti = "17/58913/46053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58913/46053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58913 ÷ 217
    58913 ÷ 131072     		x = 0.449470520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46053 ÷ 217
    46053 ÷ 131072     		y = 0.351356506347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449470520019531 × 2 - 1) × π
    -0.101058959960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31748609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351356506347656 × 2 - 1) × π
    0.297286987304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.933954615297554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31748609} λ = -0.31748609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.933954615297554))-π/2
    2×atan(2.54455203110614)-π/2
    2×1.19634200604869-π/2
    2.39268401209737-1.57079632675     		φ = 0.82188769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31748609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.190613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82188769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.090696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58913 KachelY 46053 -0.31748609 0.82188769 -18.190613 47.090696
    Oben rechts KachelX + 1 58914 KachelY 46053 -0.31743815 0.82188769 -18.187866 47.090696
    Unten links KachelX 58913 KachelY + 1 46054 -0.31748609 0.82185505 -18.190613 47.088826
    Unten rechts KachelX + 1 58914 KachelY + 1 46054 -0.31743815 0.82185505 -18.187866 47.088826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82188769-0.82185505) × R
    3.26399999999172e-05 × 6371000     		dl = 207.949439999472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82188769-0.82185505) × R
    3.26399999999172e-05 × 6371000     		dr = 207.949439999472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31748609--0.31743815) × cos(0.82188769) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.68083981593184 × 6371000     		do = 207.946004602551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31748609--0.31743815) × cos(0.82185505) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.680863722161016 × 6371000     		du = 207.953306180287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82188769)-sin(0.82185505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68083981593184-0.680863722161016)×R²
    abs(-0.31743815--0.31748609)×2.39062291756964e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39062291756964e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39062291756964e-05×40589641000000     		ar = 43243.0143905702m²