Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58913 / 40449
↖ ↑ ↗
← N 56.557969°
W 18.190613°		 ← 168.32 m → N 56.557969°
W 18.187866°		 →
↑
168.32 m
↓
↑
168.32 m
↓
N 56.556455°
W 18.190613°		 ← 168.32 m →
28 332 m²		 N 56.556455°
W 18.187866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449474334716797 y=0.308605194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449474334716797 × 217)
    floor (0.449474334716797 × 131072)
    floor (58913.5)     		tx = 58913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308605194091797 × 217)
    floor (0.308605194091797 × 131072)
    floor (40449.5)     		ty = 40449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58913 / 40449 ti = "17/58913/40449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58913/40449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58913 ÷ 217
    58913 ÷ 131072     		x = 0.449470520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40449 ÷ 217
    40449 ÷ 131072     		y = 0.308601379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449470520019531 × 2 - 1) × π
    -0.101058959960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.31748609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308601379394531 × 2 - 1) × π
    0.382797241210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.20259300076835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31748609} λ = -0.31748609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20259300076835))-π/2
    2×atan(3.32873715977889)-π/2
    2×1.27895955108961-π/2
    2.55791910217921-1.57079632675     		φ = 0.98712278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31748609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.190613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98712278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.557969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58913 KachelY 40449 -0.31748609 0.98712278 -18.190613 56.557969
    Oben rechts KachelX + 1 58914 KachelY 40449 -0.31743815 0.98712278 -18.187866 56.557969
    Unten links KachelX 58913 KachelY + 1 40450 -0.31748609 0.98709636 -18.190613 56.556455
    Unten rechts KachelX + 1 58914 KachelY + 1 40450 -0.31743815 0.98709636 -18.187866 56.556455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98712278-0.98709636) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dl = 168.321819999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98712278-0.98709636) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dr = 168.321819999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31748609--0.31743815) × cos(0.98712278) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.551093016794774 × 6371000     		do = 168.317992463461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31748609--0.31743815) × cos(0.98709636) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55111506260813 × 6371000     		du = 168.324725822319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98712278)-sin(0.98709636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551093016794774-0.55111506260813)×R²
    abs(-0.31743815--0.31748609)×2.20458133558532e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20458133558532e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20458133558532e-05×40589641000000     		ar = 28332.1575173252m²