Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58912 / 46052
↖ ↑ ↗
← N 47.092565°
W 18.193359°		 ← 207.90 m → N 47.092565°
W 18.190613°		 →
↑
207.89 m
↓
↑
207.89 m
↓
N 47.090696°
W 18.193359°		 ← 207.90 m →
43 219 m²		 N 47.090696°
W 18.190613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449466705322266 y=0.351352691650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449466705322266 × 217)
    floor (0.449466705322266 × 131072)
    floor (58912.5)     		tx = 58912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351352691650391 × 217)
    floor (0.351352691650391 × 131072)
    floor (46052.5)     		ty = 46052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58912 / 46052 ti = "17/58912/46052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58912/46052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58912 ÷ 217
    58912 ÷ 131072     		x = 0.449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46052 ÷ 217
    46052 ÷ 131072     		y = 0.351348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.10107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31753402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351348876953125 × 2 - 1) × π
    0.29730224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.934002552197174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31753402} λ = -0.31753402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.934002552197174))-π/2
    2×atan(2.5446740119651)-π/2
    2×1.19635832443725-π/2
    2.3927166488745-1.57079632675     		φ = 0.82192032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31753402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.193359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82192032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.092565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58912 KachelY 46052 -0.31753402 0.82192032 -18.193359 47.092565
    Oben rechts KachelX + 1 58913 KachelY 46052 -0.31748609 0.82192032 -18.190613 47.092565
    Unten links KachelX 58912 KachelY + 1 46053 -0.31753402 0.82188769 -18.193359 47.090696
    Unten rechts KachelX + 1 58913 KachelY + 1 46053 -0.31748609 0.82188769 -18.190613 47.090696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82192032-0.82188769) × R
    3.2630000000089e-05 × 6371000     		dl = 207.885730000567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82192032-0.82188769) × R
    3.2630000000089e-05 × 6371000     		dr = 207.885730000567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31753402--0.31748609) × cos(0.82192032) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.680815916301864 × 6371000     		do = 207.895330258134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31753402--0.31748609) × cos(0.82188769) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.68083981593184 × 6371000     		du = 207.90262829766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82192032)-sin(0.82188769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680815916301864-0.68083981593184)×R²
    abs(-0.31748609--0.31753402)×2.38996299762873e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38996299762873e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38996299762873e-05×40589641000000     		ar = 43219.23107736m²