Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58911 / 45860
↖ ↑ ↗
← N 47.450380°
W 18.196106°		 ← 206.54 m → N 47.450380°
W 18.193359°		 →
↑
206.55 m
↓
↑
206.55 m
↓
N 47.448522°
W 18.196106°		 ← 206.54 m →
42 661 m²		 N 47.448522°
W 18.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449459075927734 y=0.349887847900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449459075927734 × 217)
    floor (0.449459075927734 × 131072)
    floor (58911.5)     		tx = 58911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349887847900391 × 217)
    floor (0.349887847900391 × 131072)
    floor (45860.5)     		ty = 45860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58911 / 45860 ti = "17/58911/45860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58911/45860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58911 ÷ 217
    58911 ÷ 131072     		x = 0.449455261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45860 ÷ 217
    45860 ÷ 131072     		y = 0.349884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449455261230469 × 2 - 1) × π
    -0.101089477539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.31758196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349884033203125 × 2 - 1) × π
    0.30023193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.943206436924225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31758196} λ = -0.31758196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943206436924225))-π/2
    2×atan(2.56820301123986)-π/2
    2×1.19948084269681-π/2
    2.39896168539363-1.57079632675     		φ = 0.82816536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31758196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.196106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82816536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.450380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58911 KachelY 45860 -0.31758196 0.82816536 -18.196106 47.450380
    Oben rechts KachelX + 1 58912 KachelY 45860 -0.31753402 0.82816536 -18.193359 47.450380
    Unten links KachelX 58911 KachelY + 1 45861 -0.31758196 0.82813294 -18.196106 47.448522
    Unten rechts KachelX + 1 58912 KachelY + 1 45861 -0.31753402 0.82813294 -18.193359 47.448522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82816536-0.82813294) × R
    3.2419999999922e-05 × 6371000     		dl = 206.547819999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82816536-0.82813294) × R
    3.2419999999922e-05 × 6371000     		dr = 206.547819999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31758196--0.31753402) × cos(0.82816536) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.676228461939311 × 6371000     		do = 206.53757839698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31758196--0.31753402) × cos(0.82813294) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.676252345137786 × 6371000     		du = 206.544872940547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82816536)-sin(0.82813294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676228461939311-0.676252345137786)×R²
    abs(-0.31753402--0.31758196)×2.38831984752386e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38831984752386e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38831984752386e-05×40589641000000     		ar = 42660.6399055567m²