Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58911 / 45858
↖ ↑ ↗
← N 47.454094°
W 18.196106°		 ← 206.52 m → N 47.454094°
W 18.193359°		 →
↑
206.55 m
↓
↑
206.55 m
↓
N 47.452237°
W 18.196106°		 ← 206.53 m →
42 658 m²		 N 47.452237°
W 18.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449459075927734 y=0.349872589111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449459075927734 × 217)
    floor (0.449459075927734 × 131072)
    floor (58911.5)     		tx = 58911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349872589111328 × 217)
    floor (0.349872589111328 × 131072)
    floor (45858.5)     		ty = 45858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58911 / 45858 ti = "17/58911/45858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58911/45858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58911 ÷ 217
    58911 ÷ 131072     		x = 0.449455261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45858 ÷ 217
    45858 ÷ 131072     		y = 0.349868774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449455261230469 × 2 - 1) × π
    -0.101089477539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.31758196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349868774414062 × 2 - 1) × π
    0.300262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.943302310723465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31758196} λ = -0.31758196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943302310723465))-π/2
    2×atan(2.56844924642333)-π/2
    2×1.19951325784799-π/2
    2.39902651569599-1.57079632675     		φ = 0.82823019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31758196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.196106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82823019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.454094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58911 KachelY 45858 -0.31758196 0.82823019 -18.196106 47.454094
    Oben rechts KachelX + 1 58912 KachelY 45858 -0.31753402 0.82823019 -18.193359 47.454094
    Unten links KachelX 58911 KachelY + 1 45859 -0.31758196 0.82819777 -18.196106 47.452237
    Unten rechts KachelX + 1 58912 KachelY + 1 45859 -0.31753402 0.82819777 -18.193359 47.452237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82823019-0.82819777) × R
    3.2419999999922e-05 × 6371000     		dl = 206.547819999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82823019-0.82819777) × R
    3.2419999999922e-05 × 6371000     		dr = 206.547819999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31758196--0.31753402) × cos(0.82823019) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.676180700777481 × 6371000     		do = 206.522990908784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31758196--0.31753402) × cos(0.82819777) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67620458539722 × 6371000     		du = 206.530285886443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82823019)-sin(0.82819777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676180700777481-0.67620458539722)×R²
    abs(-0.31753402--0.31758196)×2.3884619739456e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3884619739456e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3884619739456e-05×40589641000000     		ar = 42657.6269366591m²