Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58910 / 45926
↖ ↑ ↗
← N 47.327654°
W 18.198853°		 ← 207.02 m → N 47.327654°
W 18.196106°		 →
↑
206.99 m
↓
↑
206.99 m
↓
N 47.325792°
W 18.198853°		 ← 207.03 m →
42 852 m²		 N 47.325792°
W 18.196106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449451446533203 y=0.350391387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449451446533203 × 217)
    floor (0.449451446533203 × 131072)
    floor (58910.5)     		tx = 58910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350391387939453 × 217)
    floor (0.350391387939453 × 131072)
    floor (45926.5)     		ty = 45926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58910 / 45926 ti = "17/58910/45926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58910/45926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58910 ÷ 217
    58910 ÷ 131072     		x = 0.449447631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45926 ÷ 217
    45926 ÷ 131072     		y = 0.350387573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449447631835938 × 2 - 1) × π
    -0.101104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31762990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350387573242188 × 2 - 1) × π
    0.299224853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.940042601549301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31762990} λ = -0.31762990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.940042601549301))-π/2
    2×atan(2.56009047982695)-π/2
    2×1.19840985812234-π/2
    2.39681971624468-1.57079632675     		φ = 0.82602339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31762990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.198853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82602339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.327654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58910 KachelY 45926 -0.31762990 0.82602339 -18.198853 47.327654
    Oben rechts KachelX + 1 58911 KachelY 45926 -0.31758196 0.82602339 -18.196106 47.327654
    Unten links KachelX 58910 KachelY + 1 45927 -0.31762990 0.82599090 -18.198853 47.325792
    Unten rechts KachelX + 1 58911 KachelY + 1 45927 -0.31758196 0.82599090 -18.196106 47.325792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82602339-0.82599090) × R
    3.24900000000516e-05 × 6371000     		dl = 206.993790000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82602339-0.82599090) × R
    3.24900000000516e-05 × 6371000     		dr = 206.993790000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31762990--0.31758196) × cos(0.82602339) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.677804881564668 × 6371000     		do = 207.019057527605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31762990--0.31758196) × cos(0.82599090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.677828769213842 × 6371000     		du = 207.026353430531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82602339)-sin(0.82599090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677804881564668-0.677828769213842)×R²
    abs(-0.31758196--0.31762990)×2.38876491732709e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38876491732709e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38876491732709e-05×40589641000000     		ar = 42852.4144270314m²