Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58910 / 31201
↖ ↑ ↗
← N 68.170534°
W 18.198853°		 ← 113.57 m → N 68.170534°
W 18.196106°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
N 68.169512°
W 18.198853°		 ← 113.58 m →
12 901 m²		 N 68.169512°
W 18.196106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449451446533203 y=0.238048553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449451446533203 × 217)
    floor (0.449451446533203 × 131072)
    floor (58910.5)     		tx = 58910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238048553466797 × 217)
    floor (0.238048553466797 × 131072)
    floor (31201.5)     		ty = 31201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58910 / 31201 ti = "17/58910/31201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58910/31201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58910 ÷ 217
    58910 ÷ 131072     		x = 0.449447631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31201 ÷ 217
    31201 ÷ 131072     		y = 0.238044738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449447631835938 × 2 - 1) × π
    -0.101104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31762990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238044738769531 × 2 - 1) × π
    0.523910522460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.64591344845463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31762990} λ = -0.31762990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64591344845463))-π/2
    2×atan(5.18574465458616)-π/2
    2×1.38029829814379-π/2
    2.76059659628758-1.57079632675     		φ = 1.18980027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31762990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.198853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18980027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.170534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58910 KachelY 31201 -0.31762990 1.18980027 -18.198853 68.170534
    Oben rechts KachelX + 1 58911 KachelY 31201 -0.31758196 1.18980027 -18.196106 68.170534
    Unten links KachelX 58910 KachelY + 1 31202 -0.31762990 1.18978244 -18.198853 68.169512
    Unten rechts KachelX + 1 58911 KachelY + 1 31202 -0.31758196 1.18978244 -18.196106 68.169512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18980027-1.18978244) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18980027-1.18978244) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31762990--0.31758196) × cos(1.18980027) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.371845287979987 × 6371000     		do = 113.571122246858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31762990--0.31758196) × cos(1.18978244) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.371861839415686 × 6371000     		du = 113.576177481354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18980027)-sin(1.18978244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371845287979987-0.371861839415686)×R²
    abs(-0.31758196--0.31762990)×1.65514356986751e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65514356986751e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65514356986751e-05×40589641000000     		ar = 12901.3908064802m²