Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58909 / 46199
↖ ↑ ↗
← N 46.816978°
W 18.201599°		 ← 208.97 m → N 46.816978°
W 18.198853°		 →
↑
209.03 m
↓
↑
209.03 m
↓
N 46.815099°
W 18.201599°		 ← 208.98 m →
43 682 m²		 N 46.815099°
W 18.198853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449443817138672 y=0.352474212646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449443817138672 × 217)
    floor (0.449443817138672 × 131072)
    floor (58909.5)     		tx = 58909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352474212646484 × 217)
    floor (0.352474212646484 × 131072)
    floor (46199.5)     		ty = 46199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58909 / 46199 ti = "17/58909/46199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58909/46199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58909 ÷ 217
    58909 ÷ 131072     		x = 0.449440002441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46199 ÷ 217
    46199 ÷ 131072     		y = 0.352470397949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449440002441406 × 2 - 1) × π
    -0.101119995117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.31767783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352470397949219 × 2 - 1) × π
    0.295059204101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.926955827953026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31767783} λ = -0.31767783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926955827953026))-π/2
    2×atan(2.52680542734638)-π/2
    2×1.19395337153905-π/2
    2.38790674307809-1.57079632675     		φ = 0.81711042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31767783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.201599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81711042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.816978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58909 KachelY 46199 -0.31767783 0.81711042 -18.201599 46.816978
    Oben rechts KachelX + 1 58910 KachelY 46199 -0.31762990 0.81711042 -18.198853 46.816978
    Unten links KachelX 58909 KachelY + 1 46200 -0.31767783 0.81707761 -18.201599 46.815099
    Unten rechts KachelX + 1 58910 KachelY + 1 46200 -0.31762990 0.81707761 -18.198853 46.815099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81711042-0.81707761) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dl = 209.032509999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81711042-0.81707761) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dr = 209.032509999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31767783--0.31762990) × cos(0.81711042) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.684331060554341 × 6371000     		do = 208.968721842812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31767783--0.31762990) × cos(0.81707761) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.684354984301183 × 6371000     		du = 208.976027246713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81711042)-sin(0.81707761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684331060554341-0.684354984301183)×R²
    abs(-0.31762990--0.31767783)×2.39237468417919e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39237468417919e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39237468417919e-05×40589641000000     		ar = 43682.0199756293m²