Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58907 / 31051
↖ ↑ ↗
← N 68.323219°
W 18.207092°		 ← 112.82 m → N 68.323219°
W 18.204346°		 →
↑
112.83 m
↓
↑
112.83 m
↓
N 68.322204°
W 18.207092°		 ← 112.82 m →
12 729 m²		 N 68.322204°
W 18.204346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449428558349609 y=0.236904144287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449428558349609 × 217)
    floor (0.449428558349609 × 131072)
    floor (58907.5)     		tx = 58907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236904144287109 × 217)
    floor (0.236904144287109 × 131072)
    floor (31051.5)     		ty = 31051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58907 / 31051 ti = "17/58907/31051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58907/31051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58907 ÷ 217
    58907 ÷ 131072     		x = 0.449424743652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31051 ÷ 217
    31051 ÷ 131072     		y = 0.236900329589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449424743652344 × 2 - 1) × π
    -0.101150512695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.31777371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236900329589844 × 2 - 1) × π
    0.526199340820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.65310398339764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31777371} λ = -0.31777371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65310398339764))-π/2
    2×atan(5.22316731596665)-π/2
    2×1.38163072794013-π/2
    2.76326145588025-1.57079632675     		φ = 1.19246513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31777371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.207092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19246513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.323219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58907 KachelY 31051 -0.31777371 1.19246513 -18.207092 68.323219
    Oben rechts KachelX + 1 58908 KachelY 31051 -0.31772577 1.19246513 -18.204346 68.323219
    Unten links KachelX 58907 KachelY + 1 31052 -0.31777371 1.19244742 -18.207092 68.322204
    Unten rechts KachelX + 1 58908 KachelY + 1 31052 -0.31772577 1.19244742 -18.204346 68.322204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19246513-1.19244742) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dl = 112.83041000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19246513-1.19244742) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dr = 112.83041000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31777371--0.31772577) × cos(1.19246513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369370195123133 × 6371000     		do = 112.815165179353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31777371--0.31772577) × cos(1.19244742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369386652655367 × 6371000     		du = 112.820191733314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19246513)-sin(1.19244742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369370195123133-0.369386652655367)×R²
    abs(-0.31772577--0.31777371)×1.64575322343929e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64575322343929e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64575322343929e-05×40589641000000     		ar = 12729.2649158998m²